Question

【題目】正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)，分別在射線(xiàn)，上運(yùn)動(dòng)，且．連接，作所在直線(xiàn)于點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，與之間的數(shù)量關(guān)系是______；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在邊上且不是的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)，分別在射線(xiàn)，上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，求線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）如圖（見(jiàn)解析），連接BE，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)圓周角定理得出，從而可得，然后根據(jù)角互余得出，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可得；

（2）如圖（見(jiàn)解析），連接BE，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)圓周角定理得出，從而可得，然后根據(jù)角互余得出，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可得；

（3）先根據(jù)角互余得出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和、領(lǐng)補(bǔ)角定義得出，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，又根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得．

（1），證明如下：

如圖，連接BE

在正方形中，，

∵，

∴，即

在和中，

∴

∴

∵，

∴、兩點(diǎn)都在以為直徑的圓上

∴

∴

∵，

∴

∴

又

∴；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明如下：

如圖，連接

在正方形中，，

∵，

∴，即

在和中，

∴

∴

∵，

∴、兩點(diǎn)都在以為直徑的圓上

∴

∴

∵，

∴

∴

又

∴；

（3）如圖，連接

∵，

∴

∵

又

∴

在和中，

∴

∴

在和中，

∴

∴

由（2）知，

∴

∵

∴，

在中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：

∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最大，最大值為

即線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值是．