Question

已知拋物線y=ax²+bx+1經(jīng)過點(diǎn)A（1，3）和點(diǎn)B（2，1）．
（1）求此拋物線解析式；
（2）點(diǎn)C、D分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值；
（3）過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為E點(diǎn)．點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，先沿拋物線的對(duì)稱軸到達(dá)F點(diǎn)，再沿FE到達(dá)E點(diǎn)，若P點(diǎn)在對(duì)稱軸上的運(yùn)動(dòng)速度是它在直線FE上運(yùn)動(dòng)速度的

2

倍，試確定點(diǎn)F的位置，使得點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)E點(diǎn)所用的時(shí)間最短．（要求：簡(jiǎn)述確定F點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）取A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，取B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，根據(jù)軸對(duì)稱和兩點(diǎn)間線段最短可得：此時(shí)A′B′的長(zhǎng)即為AD+CD+BC的最小值，易求得A′、B′的坐標(biāo)，即可得到線段A′B′的長(zhǎng)，那么AB+A′B′即為四邊形ABCD的最小周長(zhǎng)．
（3）由于點(diǎn)P在對(duì)稱軸上的運(yùn)動(dòng)速度較快，因此盡量使用這個(gè)速度可以使點(diǎn)P到E點(diǎn)的時(shí)間最少；由于點(diǎn)P在對(duì)稱軸上的速度是P在直線FE上的

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倍，因此只有當(dāng)△FHE（設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H）為等腰直角三角形時(shí)，從F→H→E和F→E所用時(shí)間相同，因此可過E作直線FE使得EF與對(duì)稱軸的夾角為45°，那么此時(shí)直線EF與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)F，易求得AH的長(zhǎng)，而EH=FH=1，由此可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意：

3=a+b+1 1=4a+2b+1

，
解得

a=-2 b=4

；
∴拋物線的解析式為y=-2x²+4x+1．

（2）點(diǎn)A（1，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（-1，3），
點(diǎn)B（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（2，-1）；
由對(duì)稱性可知AB+BC+CD+DA=AB+B'C+CD+DA'≥AB+A'B'，
由勾股定理可求AB=

5

，A'B'=5．
所以，四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是AB+A′B′=5+

5

．

（3）確定F點(diǎn)位置的方法：過點(diǎn)E作直線EG使對(duì)稱軸到直線EG成45°角，
則EG與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求的F點(diǎn)；
設(shè)對(duì)稱軸于x軸交于點(diǎn)H；
在Rt△HEF中，由HE=1，∠FHE=90°，∠EFH=45°，
得HF=1．
所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定以及平面展開-最短路徑問題；（3）題中，能夠抓住點(diǎn)P在對(duì)稱軸和直線FE上的速度關(guān)系，是判斷F點(diǎn)位置的關(guān)鍵．