Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切；
（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由于三角形PMN和AMN的面積相當(dāng)，那么可通過求三角形AMN的面積來得出三角形PMN的面積，求三角形AMN的面積可根據(jù)三角形AMN和ABC相似，根據(jù)相似比的平方等于面積比來得出三角形AMN的面積；
（2）當(dāng)圓O與BC相切時(shí)，O到BC的距離就是MN的一半，那么關(guān)鍵是求出MN的表達(dá)式，可根據(jù)三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表達(dá)式，也就求出了O到BC的距離的表達(dá)式，如果過M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距離，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函數(shù)以及BM的表達(dá)式表示出MQ，然后讓這兩表示MQ的含x的表達(dá)式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面積首先看P點(diǎn)在三角形ABC內(nèi)部還是外面，因此可先得出這兩種情況的分界線即當(dāng)P落到BC上時(shí)，x的取值，那么P落點(diǎn)BC上時(shí)，MN就是三角形ABC的中位線，此時(shí)AM=2，因此可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，此時(shí)重合部分的面積就是三角形PMN的面積，三角形PMN的面積（1）中已經(jīng)求出，即可的x，y的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，如果設(shè)PM，PN交BC于E，F(xiàn)，那么重合部分就是四邊形MEFN，可通過三角形PMN的面積-三角形PEF的面積來求重合部分的面積．不難得出PN=AM=x，而四邊形BMNF又是個(gè)平行四邊形，可得出FN=BM，也就有了FN的表達(dá)式，就可以求出PF的表達(dá)式，然后參照（1）的方法可求出三角形PEF的面積，即可求出四邊形MEFN的面積，也就得出了y，x的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)兩種情況得出的函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍求出y的最大值即可．

解答：解：（1）∵M(jìn)N∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

AN

AC

，即

x

4

=

AN

3

；
∴AN=

3

4

x；
∴S=S_△MNP=S_△AMN=

1

2

•

3

4

x•x=

3

8

x²．（0＜x＜4）

（2）如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連接AO，OD，則AO=OD=

1

2

MN．
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴

AM

AB

=

MN

BC

，即

x

4

=

MN

5

，
∴MN=

5

4

x
∴OD=

5

8

x，
過M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=

5

8

x，
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴

BM

BC

=

QM

AC

，
∴BM=

5× 5 8 x

3

=

25

24

x，AB=BM+MA=

25

24

x+x=4
∴x=

96

49

，
∴當(dāng)x=

96

49

時(shí)，⊙O與直線BC相切；

（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連接AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴

AM

AB

=

AO

AP

=

1

2

，
∵AM=MB=2，
故以下分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=S_△PMN=

3

8

x²，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y最大=

3

8

×4=

3

2

，
②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴四邊形MBFN是平行四邊形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴(

PF

AB

)2=

S△PEF

S△ABC

，
∴S_△PEF=

3

2

（x-2）²；
y=S_△MNP-S_△PEF=

3

8

x²-

3

2

（x-2）²=-

9

8

x²+6x-6，
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=-

9

8

x²+6x-6=-

9

8

（x-

8

3

）²+2，
∴當(dāng)x=

8

3

時(shí)，滿足2＜x＜4，y最大=2．
綜上所述，當(dāng)x=

8

3

時(shí)，y值最大，最大值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意（3）中要根據(jù)P點(diǎn)的位置的不同分情況進(jìn)行討論，不要漏解．