Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如圖，D為AC上任一點(diǎn)，連接BD，過A點(diǎn)作BD的垂線交過C點(diǎn)與AB平行的直線CE于點(diǎn)E．求證：BD=AE．

（2）若點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，如圖，其他條件同（1），請(qǐng)畫出此時(shí)的圖形，并猜想BD與AE是否仍然相等？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先證∠ABD=∠CAE，再證△ABD≌△CAE即可得出答案．
（2）根據(jù)題意畫出圖形，然后可根據(jù)△ABD≌△ACE得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

AB=AC ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD

∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．

（2）BD與AE仍然相等，
證明：過點(diǎn)C作AB∥CE，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)F，
∵AB∥CE，
∴∠BAE=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

∠BAC=∠ACE AB=AC ∠ABD=∠AEC

∴△ABD≌△CAE（ASA）
∴BD=AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰三角形的性質(zhì)，難度不大，注意利用全等三角形的知識(shí)證明線段的相等．