Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M，直線CM的解析式y(tǒng)=-x+2并且線段CM的長為2

2

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且點(diǎn)A在B的左側(cè)，求線段AB的長；
（3）若以AB為直徑作⊙N，請你判斷直線CM與⊙N的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）解法一：
由已知，直線CM：y=-x+2與y軸交于點(diǎn)C（0，2）
拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)C（0，2），
所以c=2，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)M（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在直線CM上，
所以

4a×2-b2

4a

=

b

2a

+2，
解得b=0或b=-2（2分）
若b=0，點(diǎn)C、M重合，不合題意，舍去，
所以b=-2．即M（

1

a

，2-

1

a

）
過M點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為Q，
在Rt△CMQ中，CM²=CQ²+QM²
所以，8=（

1

a

）²+[2-（2-

1

a

）]²，
解得，a=±

1

2

．
∴所求拋物線為：y=-

1

2

x²-2x+2或y=

1

2

x²-2x+2（4分）
以下同下．
解法二：由題意得C（0，2），
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y）
∵點(diǎn)M在直線y=-x+2上，
∴y=-x+2
由勾股定理得CM=

x2+(y-2)2

，
∵CM=2

2

，即x²+（y-2）²=8
解方程組

y=-x+2 x2+(y-2)2=8

得

x1=-2 y1=42

，

x2=2 y2=0

（2分）
∴M（-2，4）或M‘（2，0）
當(dāng)M（-2，4）時，
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）²+4，
∵拋物線過（0，2）點(diǎn)，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²-2x+2（3分）
當(dāng)M′（2，0）時，
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²
∵拋物線過（0，2）點(diǎn)，
∴a=

1

2

，
∴y=-

1

2

x²-2x+2
∴所求拋物線為：y=-

1

2

x²-2x+2或y=

1

2

x²-2x+2（4分）；

（2）∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴y=

1

2

x²-2x+2不合題意，舍去．
∴拋物線應(yīng)為：y=-

1

2

x²-2x+2（6分）
拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)且點(diǎn)A在B的左側(cè)，
∴y=-

1

2

x²-2x+2=0，
得AB=|x₁-x₂|=

4-4×(- 1 2 )×2

1 2

=4

2

；（8分）
（3）∵AB是⊙N的直徑，
∴r=2

2

，N（-2，0），
又∵M(jìn)（-2，4），
∴MN=4
設(shè)直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)D，則D（2，0），
∴DN=4，可得MN=DN，
∴∠MDN=45°，作NG⊥CM于G，在Rt△NGD中，
NG=DN•sin45°=2

2

=r（10分）
即圓心到直線CM的距離等于⊙N的半徑
∴直線CM與⊙N相切（12分）．