Question

將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖①）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D′處，折痕為EG（如圖②）；再展平紙片（如圖③），則圖③中α的正切值為

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)折疊與矩形的性質(zhì)，即可求得α的度數(shù)，然后在等腰直角三角形的中，求得22.5°角的正切值，即可求得圖③中α的正切值．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABF=90°，AD∥BC，
∵將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE，
∴∠ABE=∠FBE=

1

2

∠ABF=45°，
∴∠AEB=∠FBE=45°，
∴∠BED=180°-∠AEB=135°，
∵∠BEG=∠DEG=

1

2

∠BED=67.5°，
∴∠α=∠FEG=∠BEG-∠BEF=22.5°，
如圖：△MNP是等腰直角三角形，QM平分∠PMN，
∴∠PMQ=22.5°=∠α，
過點(diǎn)Q作QH⊥MN于H，
則QH=PQ，
∴△PMQ≌△HMQ，
∴MH=PM，
設(shè)PM=a，則PN=PM=MH=a，MN=

2

a，
∴NH=MN-MH=（

2

-1）a，
∵∠N=∠N，∠NHQ=∠P=90°，
∴△NHQ∽△NPM，
∴

NH

NP

=

NQ

MN

，
即

( 2 -1)a

a

=

NQ

2 a

，
解得：NQ=（2-

2

）a，
∴PQ=PN-NQ=（

2

-1）a，
∴tanα=tan∠QMP=

PQ

PM

=

( 2 -1) a

a

=

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．解此題的關(guān)鍵是掌握折疊中的對應(yīng)關(guān)系與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．