Question

閱讀下列材料：如圖，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)C，AB是⊙O1和⊙O2的外公切線，A、B為切點(diǎn)，求證：AC⊥BC．

　　證實(shí)：過(guò)點(diǎn)C作⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線交AB于D．

　　∵　DA、DC是⊙O1的切線，∴　DA＝DC．

　　∴　∠DAC＝∠DCA．同理∠DCB＝∠DBC．

　　又∵　∠DAC＋∠DCA＋∠DCB＋∠DBC＝180°，∴　∠DCA＋∠DCB＝90°．

　　即AC⊥BC．

　　根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：

　　(1)在以上的證實(shí)過(guò)程中使用了哪些定理？請(qǐng)寫出兩個(gè)定理的名稱或內(nèi)容；

　　(2)以AB所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖11)．已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4，0)、(1，0)，求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)解析式；

　　(3)根據(jù)(2)中所確定的拋物線，試判定這條拋物線的頂點(diǎn)是否落在兩圓的連心O1O2上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和等于180°等

　　(2)由題意OA＝4，OB＝1，AC⊥BC，Rt△ACB中，∵　AC⊥BC，CO⊥AB，∴　△BOC∽△COA．

　　∴　 ，OC2＝OA?OB，∴　OC2＝4，OC＝2．

　　∴　點(diǎn)C(0，-2)設(shè)y＝a(x＋4)(x-1)，代入點(diǎn)C(0，-2)有：-2＝-4a．

　　∴　a＝ ．∴　y＝ (x＋4)(x-1)．即y＝ x2＋ x-2．

　　(3)解法一：設(shè)⊙O1的半徑為R，⊙O2的半徑為r．

　　連O1A、O2B、O1O2，過(guò)O2作O2H⊥O1A于H．

　　在Rt△O1O2H中，O1H＝R-r，O1O2＝R＋r，HO2＝AB＝5，在梯形ABO2O1中， ．

　　∴　

　　∴　R＝5，r＝ ．

　　∴　梯形AO1O2B的中位線長(zhǎng)為： (R＋r)＝ (5＋ )＝ ．

　　∵　由拋物線的對(duì)稱性知，梯形中位線在對(duì)稱軸上．

　　∴　O1O2的中點(diǎn)坐標(biāo)是(- ，- )．

　　∵　y＝ (x＋ )2- ，∴　頂點(diǎn)P(- ，- )．

　　∴　拋物線的頂點(diǎn)在O1O2的連心線上．

　　解法二：(接解法一)由R＝5，A(-4，0)，C(0，-2)，

　　∴　點(diǎn)O1＝(-4，-5)．設(shè)過(guò)點(diǎn)O1、O2的直線為y＝kx＋b，又點(diǎn)C在連心線O1、O2上，

　　∴　 ∴　

　　∴　y＝ x-2．

　　當(dāng)x＝- 時(shí)，y＝ ×(- )-2＝- ．

　　∴　頂點(diǎn)(- ，- )在連心線O1O2上．