Question

問(wèn)題探究
（1）請(qǐng)?jiān)趫D①的正方形ABCD內(nèi)，畫出使∠APB=90°的一個(gè)點(diǎn)P，并說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D②的正方形ABCD內(nèi)（含邊），畫出使∠APB=60°的所有的點(diǎn)P，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決
（3）如圖③，現(xiàn)有一塊矩形鋼板ABCD，AB=4，BC=3，工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP′D鋼板，且∠APB=∠CP′D=60°，請(qǐng)你在圖③中畫出符合要求的點(diǎn)P和P′，并求出△APB的面積。（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

解：（1）如圖①，連接AC、BD交于點(diǎn)P，則∠APB=90°， ∴點(diǎn)P為所求；
（2）如圖②，畫法如下： 1）以AB為邊在正方形內(nèi)作等邊三角形ABP； 2）作△ABP的外接圓⊙O，分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F ∵在⊙O中，弦AB所對(duì)的上的圓周角均為60°， ∴上的所有點(diǎn)均為所求的點(diǎn)P；
（3）如圖③，畫法如下： 1）連接AC； 2）以AB為邊作等邊三角形ABE； 3）作等邊三角形ABE的外接圓⊙O，交AC于點(diǎn)P； 4）在AC上截取AP′=CP， 則P、P′即為所求； 過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC，交AC于點(diǎn)G， ∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3， ∴， ∴， 在Rt△ABG中，AB=4， ∴， 在Rt△BPG中，∠BPA=60°， ∴， ∴， ∴。