Question

【題目】已知函數(shù) y1 kx ax a 的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)）,已知函數(shù)y2 kx bx b 的圖象與 x 軸交于 C、D 兩點(diǎn)（點(diǎn) C 在點(diǎn) D 的左側(cè)），其中 k 0, a b

(1)求證：函數(shù) y1 與 y2 的圖象交點(diǎn)落在一條定直線上；

(2)若 AB=CD，求 a、b和k 滿足的關(guān)系式；

(3)是否存在函數(shù) y1 與 y2 ，使得 B，C 為線段 AD 的三等分點(diǎn)？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）且；（3）存在這樣的函數(shù)，使得B，C為線段AD的三等分點(diǎn)，且.

【解析】

（1）將兩函數(shù)的解析式聯(lián)立求解即可得；

（2）設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)解析式分別求出四點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)列出等式，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出a、b和k 滿足的關(guān)系式；

（3）由題意需分兩種情況：點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)有；點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，此時(shí)有；利用題（2）求出的四點(diǎn)坐標(biāo)則可得這些線段的長(zhǎng)度，建立等式化簡(jiǎn)求解即可.

（1）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為

由題意得：

解得：

即交點(diǎn)坐標(biāo)為

故函數(shù)與的圖象交點(diǎn)落在定直線上；

（2）由題意設(shè)

求解和兩個(gè)方程可得：

則

由得：

解得：

即

代入得

故所求的a、b和k滿足的關(guān)系式為且；

（3）根據(jù)題意分以下兩種情況：

①點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)有，則

當(dāng)時(shí)，

由得，即

將值代入得：

解得：

聯(lián)立題（2）的結(jié)論得：

因函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則

兩邊同除以得

此方程的根的判別式，無解

故不存在，使得B，C為線段AD的三等分點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

由得，即

將值代入得：

解得：

聯(lián)立題（2）的結(jié)論得：

因函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則

兩邊同除以得

此方程的根的判別式，無解

故不存在，使得B，C為線段AD的三等分點(diǎn)；

②點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，此時(shí)有

當(dāng)時(shí)，

由得，即

將值代入得：

由題（2）的結(jié)論得：

聯(lián)立解得：

即

因函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則

兩邊同除以得

解得：

故存在這樣的函數(shù)，使得B，C為線段AD的三等分點(diǎn)，且；

當(dāng)時(shí)，

由得，即

將值代入得：

由題（2）的結(jié)論得：

聯(lián)立解得：

即

因函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則

兩邊同除以得

解得：

故存在這樣的函數(shù)，使得B，C為線段AD的三等分點(diǎn)，且；

綜上，存在這樣的函數(shù)，使得B，C為線段AD的三等分點(diǎn)，且.