【題目】某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動(dòng),愛思考的小實(shí)同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn),兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、圖2、圖3中,、
是
的中線,
于點(diǎn)
,像
這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.
(特例探究)
(1)如圖1,當(dāng),
時(shí),
_____,
______;
如圖2,當(dāng),
時(shí),
_____,
______;
(歸納證明)
(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想、
、
三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論;
(拓展證明)
(3)如圖4,在中,
,
,
、
、
分別是邊
、
的中點(diǎn),連結(jié)
并延長至
,使得
,連結(jié)
,當(dāng)
于點(diǎn)
時(shí),求
的長.
【答案】(1),
,
,
;(2)
,證明見解析;(3)
.
【解析】
(1)由三角函數(shù)的性質(zhì)得到 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得到EF//AB.
,由平行線分線段成比例可得
,可求得PE、PE的長,再由勾股定理得到結(jié)果;由三角函數(shù)的性質(zhì)得到
根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得到EF//AB.
,由平行線分線段成比例可得
,可求得PE、PE的長再由勾股定理得到結(jié)果;
(2) 設(shè),
,則
,
,利用勾股定理用x、y、z分別表示出:
、
、
,再用x、y、z分別表示出
,
,由
即可得出答案;
(3)連結(jié),
過點(diǎn)
作
交
于點(diǎn)
,交
于點(diǎn)
,可得四邊形
是平行四邊形,可得
是中垂三角形,即可知:
,
代入(2)中結(jié)論可求得
(1)解:如圖,連接EF
∵,
,
∴
∵、
是
的中線,
是交點(diǎn)
∴
∴
∴
∵
∴由勾股定理可得:
∴
如圖連接EF
∵,
,
∴,
∵、
是
的中線,
是交點(diǎn)
∴
∴
∴,
∵
∴由勾股定理可得:,
∴,
故答案為:,
,
,
.
(2),理由如下:
設(shè),
,則
,
∵
∴
∴,
∴
即
(3)連結(jié),
過點(diǎn)
作
交
于點(diǎn)
,交
于點(diǎn)
,
∵,
∴
∵是
的中點(diǎn)
∴是
的中點(diǎn)
∵,
是
,
的中點(diǎn)
∴,
∵
∴,
∴四邊形是平行四邊形
∴是
的中點(diǎn)
∴是中垂三角形
∵,
,
∴,
有(2)中結(jié)論可知:
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請畫出將△ABC向左平移4個(gè)單位長度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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(1)求證:△ADB≌△BCA;
(2)若OD⊥AC,AB=4,求弦AC的長;
(3)在(2)的條件下,延長AB至點(diǎn)P,使BP=2,連接PC.求證:PC是⊙O的切線.
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(1)本次抽取到的學(xué)生人數(shù)為________,圖2中的值為_________.
(2)本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是__________,眾數(shù)是________,中位數(shù)是_________.
(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)我校八年級模擬體測中得12分的學(xué)生約有多少人?
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【題目】已知拋物線(b,c為常數(shù)).
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(2)若拋物線上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,求c的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,存在正實(shí)數(shù)m,n( m<n),當(dāng)m≤x≤n時(shí),恰好有,求m,n的值.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,下列結(jié)論:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正確的個(gè)數(shù)有( 。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖,過點(diǎn)C(3,4)的直線交
軸于點(diǎn)A,∠ABC=90°,AB=CB,曲線
過點(diǎn)B,將點(diǎn)A沿
軸正方向平移
個(gè)單位長度恰好落在該曲線上,則
的值為________.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)將拋物線在之間的部分記為圖象
,將圖象
沿直線x=1翻折,翻折后圖象記為
,圖象
和
組成G,直線
:
和圖象G在x軸上方的部分有兩個(gè)公共點(diǎn),求k的取值范圍;
(3)直線:
與圖象G在x軸上方的部分分別交于A、M、P、Q四點(diǎn),若AM=2PQ,求
的值.
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