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        1. 已知正方形OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,B(4,4).如圖1,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于正方形對角線邊AC、OB交點(diǎn)處,直角MPN繞頂點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).在旋轉(zhuǎn)的過程中,易證:四邊形OMPN的面積為定值,且S四邊形OMPN=4.
          (1)如圖2,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線OB上,且=,直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).設(shè)CM=a,四邊形OMPN的面積為S,則S隨a的變化而變化嗎?若不變,請求出S的值;若變化,請求出S與a的關(guān)系式.
          (2)如圖3,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線AC上,且=,直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).設(shè)CM=a,四邊形OMPN的面積為S=______. (直接寫出答案,不需證明;若S隨a的變化而不變,直接寫出S的值;若變化,直接寫出S與a的關(guān)系式.)

          【答案】分析:(1)過點(diǎn)P作PE⊥OC于點(diǎn)E,作PF⊥OA于點(diǎn)F,利用OP平分∠COA,求證矩形EPFO為正方形,可得∠EPM=∠FPN,再求證△EPM≌△FPN,△OPE∽△OBC,利用其對應(yīng)邊成比例即可求得.
          (2)根據(jù)=,設(shè)CM=a,可直接求得四邊形OMPN的面積.
          解答:證明:(1)過點(diǎn)P作PE⊥OC于點(diǎn)E,作PF⊥OA于點(diǎn)F,
          ∵OP平分∠COA,
          ∴PE=PF,
          ∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°,
          ∴∠EPF=90°,四邊形EPFO為矩形,
          ∴矩形EPFO為正方形
          ∠EPF-∠MPF=∠MPN-∠MPF,
          即∠EPM=∠FPN,
          ∴△EPM≌△FPN,
          ∴S四邊形OMPN=S四邊形EPFO=PE2
          ∵△OPE∽△OBC,
          ,
          ∴PE=3,
          ∴S四邊形OMPN=S四邊形EPFO=9.
          (2)S=4a-1.
          點(diǎn)評:此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn),特別是旋轉(zhuǎn)問題是個難點(diǎn),要求學(xué)生應(yīng)具備一定的空間想象能力.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知正方形OABC的面積為9,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)B在函數(shù)y=
          k
          x
          的圖象上,點(diǎn)P(m,n)是函數(shù)y=
          k
          x
          (k>0,x>0)的圖象上的一點(diǎn)(與點(diǎn)B不重合),過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F精英家教網(wǎng).并設(shè)陰影部分為S.
          (1)求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值;
          (2)求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)當(dāng)S=
          9
          2
          時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知正方形OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,B(4,4).如圖1,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于正方形對角線邊AC、OB交點(diǎn)處,直角MPN繞頂點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).在旋轉(zhuǎn)的過程中,易證:四邊形OMPN的面積為定值,且S四邊形OMPN=4.
          (1)如圖2,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線OB上,且
          BP
          PO
          =
          1
          3
          ,直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).設(shè)CM=a,四邊形OMPN的面積為S,則S隨a的變化而變化嗎?若不變,請求出S的值;若變化,請求出S與a的關(guān)系式.
          (2)如圖3,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線AC上,且
          CP
          PA
          =
          1
          3
          ,直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).設(shè)CM=a,四邊形OMPN的面積為S=
           
          . (直接寫出答案,不需證明;若S隨a的變化而不變,直接寫出S的值;若變化,直接寫出S與a的關(guān)系式.)
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,已知正方形OABC的面積為9,點(diǎn)B在函數(shù)y=
          k
          x
          (k>0,x>0)
          的圖象上,點(diǎn)P(m,n)(6≤m≤9)是函數(shù)y=
          k
          x
          (k>0,x>0)
          的圖象上動點(diǎn),過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,若設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合的兩部分的面積和為S.
          (1)求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值;
          (2)寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系和S的最大值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          已知正方形OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中,B(4,4).如圖1,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于正方形對角線邊AC、OB交點(diǎn)處,直角MPN繞頂點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).在旋轉(zhuǎn)的過程中,易證:四邊形OMPN的面積為定值,且S四邊形OMPN=4.
          (1)如圖2,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線OB上,且數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式,直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).設(shè)CM=a,四邊形OMPN的面積為S,則S隨a的變化而變化嗎?若不變,請求出S的值;若變化,請求出S與a的關(guān)系式.
          (2)如圖3,若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線AC上,且數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式,直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N(不與點(diǎn)C、O、A重合).設(shè)CM=a,四邊形OMPN的面積為S=________. (直接寫出答案,不需證明;若S隨a的變化而不變,直接寫出S的值;若變化,直接寫出S與a的關(guān)系式.)

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