Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝CD，AD⊥BD，E為AB中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形BCDE是菱形．

（2）若AD＝6，BD＝8，求四邊形BCDE的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）周長(zhǎng)：20；面積：24.

【解析】

（1）根據(jù)AD⊥BD，E為AB中點(diǎn)得到BE＝DE,再根據(jù)AB∥CD和BC＝CD，得到∠EDB＝∠EBD＝∠CDB＝∠CBD，證明△EBD≌△CBD,即可求解,（2）勾股定理求出AB=10,進(jìn)而得到BE=5,求出周長(zhǎng),再求出S△ABD=24,利用S△DEB= S△ABD=12即可求出面積.

證明：（1）∵AD⊥BD，

∴△ABD是Rt△

∵E是AB的中點(diǎn)，

∴BE＝AB，DE＝AB （直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半），

∴BE＝DE，

∴∠EDB＝∠EBD，

∵CB＝CD，

∴∠CDB＝∠CBD，

∵AB∥CD，

∴∠EBD＝∠CDB，

∴∠EDB＝∠EBD＝∠CDB＝∠CBD，

∵BD＝BD，

∴△EBD≌△CBD （ASA ），

∴BE＝BC，

∴CB＝CD＝BE＝DE，

∴菱形BCDE．（四邊相等的四邊形是菱形）

（2）∵△ABD是Rt△，AD＝6，BD＝8，

∴AB＝10（勾股定理），

∴S△ABD=，

∵E為AB中點(diǎn)，

∴S△DEB= S△ABD=12，

∴DE＝AB＝5，菱形BCDE的面積＝24，

∴菱形BCDE的周長(zhǎng)＝20．