Question

如圖，直線y=kx+b分別交y軸、x 軸于A（0、2）、B（4、0））兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）設(shè)N（x、y）是（1）所得拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作直線MN垂直x軸交直線AB于點(diǎn)M，若點(diǎn)N在第一象限內(nèi)．試問(wèn)：線段MN的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由直線y=kx+b分別交y軸、x 軸于A（0、2）、B（4、0））兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得直線和拋物線的解析式；
（2）假設(shè)x=t時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是否存在最大值，可得M（t，-

1

2

t+2），N（t，-t²+

7

2

t+2），則可得MN=（-t²+

7

2

t+2）-（-

1

2

t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，然后由二次函數(shù)的最值問(wèn)題，求得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b分別交y軸、x 軸于A（0、2）、B（4、0））兩點(diǎn)，
∴

b=2 4k+b=0

，
解得：

b=2 k=- 1 2

．
∴直線為：y=-

1

2

x+2，…（3分）
將x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得：c=2，…（4分）
將x=4，y=0代入y=-x²+bx+2，
得：0=-16+4b+2，
解得：b=

7

2

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+

7

2

x+2；…（6分）

（2）存在．
假設(shè)x=t時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是否存在最大值，
由題意易得：M（t，-

1

2

t+2），N（t，-t²+

7

2

t+2），…（8分）
∴MN=（-t²+

7

2

t+2）-（-

1

2

t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，…（10分）
∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4；…6 分

（3）由題意可知，D的可能位置有如圖三種情形．…（11分）
當(dāng)D在y軸上時(shí)，
設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a）
由AD=MN得|a-2|=4，
解得a₁=6，a₂=-2，
∴D為（0，6）或D（0，-2）；…（13分）
當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D為D₁N與D₂M的交點(diǎn)，
∵直線D₁N的解析式為：y=-

1

2

x+6，直線D₂M的解析式為：y=

3

2

x-2，
由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）．…（14分）
綜上可得：所求的D為（0，6），（0，-2）或（4，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問(wèn)題以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，綜合性強(qiáng)，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．