Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1， 0）和點(diǎn)B（0，-5）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP的周長最�。�請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）

【解析】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，根據(jù)（1）所得的函數(shù)解析式即可求得A、B、C的坐標(biāo)；在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP+BP的長最��；由于A、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

詳解：（1）根據(jù)題意，聯(lián)立方程組解得 ，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，

（2）令y=0，得二次函數(shù)的圖象與x軸

的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)C（5, 0）.

由于P是對稱軸上一點(diǎn)，

連結(jié)AB，由于，

要使△ABP的周長最小，只要最小.

由于點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)BC交對稱軸于點(diǎn)P，則= BP+PC =BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得的最小值為BC.

因而BC與對稱軸的交點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)

設(shè)直線BC的解析式為，根據(jù)題意，可得解得

所以直線BC的解析式為

因此直線BC與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，解得

所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）