Question

如圖，△ABC內接于半圓，AB為直徑，過點A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是半圓的切線．
（2）設D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F，求證：FD=FG．
（3）在（2）的條件下，若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

Answer 1

分析：（1）要證MN是⊙O的切線，只需證明MA⊥AB即可，易得∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB；故可得證．
（2）連接AD，則∠1=∠2，進而可得∠1+∠DGF=90°，故∠FDG=∠FGD，即FD=FG．
（3）求△BCG的面積，只需證得△FGH∽△BGC，再根據相似三角形的性質，求得△BCG的面積．

解答：（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠ABC=90°．（1分）
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°．
即MA⊥AB．
∴MN是半圓的切線．（2分）

（2）證明：
證法1：∵D是弧AC的中點，
∴∠DBC=∠2．（3分）
∵AB是直徑，
∴∠CBG+∠CGB=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠2=90°．（4分）
∵∠DBC=∠2，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD．
∴FD=FG．（5分）
證法2：連接AD，則∠1=∠2，（3分）
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠1+∠DGF=90°．
又∵DE⊥AB，
∴∠2+∠FDG=90°．（4分）
∴∠FDG=∠FGD．
∴FD=FG．（5分）

（3）解：解法1：過點F作FH⊥DG于H，（6分）
又∵DF=FG，
∴S_△FGH=

1

2

S_△DFG=

1

2

×4.5=

9

4

．（7分）
∵AB是直徑，F(xiàn)H⊥DG，
∴∠C=∠FHG=90°．（8分）
∵∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC．
∴

S△FGH

S△BGC

=(

HG

CG

)2=(

1.5

4

)2=

9

64

．（9分）
∴S_△BCG=

9

4

×

64

9

=16．（10分）

解法2：∵∠ADB=90°，DE⊥AB，
∴∠3=∠2．（6分）
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴AF=DF=FG．（7分）
∴S_△ADG=9．（8分）
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．（9分）
∴

S△BCG

S△ADG

=(

CG

DG

)2=(

4

3

)2=

16

9

．
∴S_△BCG=

16

9

×9=16．（10分）

解法3：連接AD，過點F作FH⊥DG于H．
∵S_FDG=

1

2

DG×FH=

1

2

×3FH=4.5，
∴FH=3．
∵H是DG的中點，F(xiàn)H∥AD，
∴AD=2FH=6
∴S_△ADG=

1

2

AD•DG=

1

2

×6×3=9．
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．
∵DG=3，GC=4，
∴

S△ADG

S△BCG

=（

DG

CG

）²，
∴

9

S△BCG

=（

3

4

）²，
∴S_△BCG=16．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．