Question

我們知道三角形的一條中線能將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，反之，若經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將這個(gè)三角形分成面積相等兩個(gè)三角形，那么這條直線平分三角形的這個(gè)頂點(diǎn)的對邊．如圖1，若S_△ABD=S_△ADC，則BD=CD成立．
請你直接應(yīng)用上述結(jié)論解決以下問題：

（1）已知：如圖2，AD是△ABC的中線，沿AD翻折△ADC，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E，DE交AB于F，若△ADE與△ADB重疊部分面積等于△ABC面積的

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，問線段AE與線段BD有什么關(guān)系？在圖中按要求畫出圖形，并說明理由．
（2）已知：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的任意一點(diǎn)，連接PD，沿PD翻折△ADP，使點(diǎn)A落在E，若△PDE與△PDB重疊部分的面積等于△ABP面積的

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4

，直接寫出BP²的值．

Answer 1

分析：（1）如圖2，線段AE與BD平行且相等；利用上述結(jié)論易證得AF=BF，DF=EF；然后通過△AFE≌△BFD（SAS），來證AE=BD，且AE∥BD；
（2）如圖3，BP²=4或12．

解答：（1）解：如圖2，線段AE與BD平行且相等．理由如下：
∵AD是△ABC的中線，
∴S_△ABD=S_△ADC=

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S_△ABC．
∵S_△ADF=

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4

S_△ABC，
∴S_△ADF=S_△BDF=

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2

S_△ABD，
∴AF=BF．
同理，DF=EF．
在△AFE與△BFD中，

BF=DF ∠EFA=∠DFB AF=BF

，
∴△AFE≌△BFD（SAS），
∴AE=BD，∠EAF=∠DBF，
∴AE∥BD．
∴線段AE與BD平行且相等；

（2）BP²=4或12．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積、全等三角形的判定與性質(zhì)以及翻折變換．折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．