Question

已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的坐標為（0，2），以OA為直徑作圓B．若點D是x軸上的一動點，連接AD交圓B于點C．
（1）當tan∠DAO=

1

2

時，求直線BC的解析式；
（2）過點D作DP∥y軸與過B、C兩點的直線交于點P，請任意求出三個符合條件的點P的坐標，并確定圖象經(jīng)過這三個點的二次函數(shù)的解析式；
（3）若點P滿足（2）中的條件，點M的坐標為（-3，3），求線段PM與PB的和的最小值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）直徑是OA，圓心為B，故B（0，1），根據(jù)tan∠1=tan∠2=

1

2

，分別解直角△OKC，△AKC可得C點坐標為（

4

5

，

2

5

），又A（0，2），可求出直線BC解析式；
（2）本題答案不唯一，可選定點D的坐標，推出點P的坐標，最好選擇關于y軸的對稱點，使拋物線解析式簡單一些；
（3）由于BC=BA，PD∥y軸，則PC=PD，將問題進行轉(zhuǎn)化，PM+PB=PM+PC+CB=PM+PD+CB，故只有當直線DP經(jīng)過點M（-3，3）時，PM+PD的值最小，由切割線定理求CD，由平行的相似三角形，利用相似比求PD，確定P點坐標．

解答：解：（1）如圖所示，當點D在x軸的正半軸上時，連接OC，過C點作CK⊥y軸于點K．
∵OA為圓B的直徑，點C在圓B上
∴∠ACO=90°
∴∠1=∠2
∵tan∠1=

1

2

∴tan∠2=

1

2

設OK的長為x，則KC=2x，可得AK=4x
∵點A的坐標為（0，2），OK+KA=OA
∴點B的坐標為（0，1），5x=2
∴x=

2

5

∴KC=

4

5

∴點C的坐標為（

4

5

，

2

5

）
設直線BC的解析式為y=kx+1（k≠1），
得：

2

5

=

4

5

k+1
∴k=-

3

4

∴直線BC的解析式為y=-

3

4

x+1
當點D在x軸的負半軸上時，同理可得直線BC的解析式為y=

3

4

x+1
∴滿足題意的直線BC的解析式為y=-

3

4

x+1或y=

3

4

x+1．

（2）∵DP∥y軸
∴DP⊥x軸
當點D位于如圖的位置時，有D（1，0）
可得P點的縱坐標為y=-

3

4

×1+1=

1

4

∴點P的坐標為（1，

1

4

）
如圖所示，當點D的坐標為（2，0）時，△AOD為等腰三角形
連接OC
∵OA為圓B的直徑
∴OC⊥AD
∴C為AD中點
∴BC∥OD
又∵DP₁∥y軸
∴點P₁的坐標為（2，1）
如圖所示，類似地，可得點P₂的坐標為（-2，1）
設圖象經(jīng)過P、P₁、P₂、三點的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），得：
①

1

4

=a+b+c；②1=4a+2b+c；③1=4a-2b+c
解得a=

1

4

，b=0，c=0
∴圖象經(jīng)過這三點的二次函數(shù)的解析式為y=

1

4

x²．

（3）如圖所示
∵AB∥PD，
∴PD⊥x軸，

AB

DP

=

BC

PC

∵AB=BC
∴DP=PC
∴PM+PB=PM+PC+BC
=PM+PD+BC
由幾何知識可知，當直線DP經(jīng)過點M（-3，3）時，PM+PD的值最小
又∵BC是圓B的半徑
∴當直線BP過點M時，PM+PB的值最小
∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4
∵OD=3，OA=2
由勾股定理有AD=

13

又可證DO是圓B的切線
∴OD²=DC•AD
∴CD=

9

13

，
則AC=AD-CD=

4

13

由△PDC∽△BAC，得：

PD

AB

=

DC

AC

即DP=

AB•DC

AC

=

9

4

∴點P的坐標為（-3，

9

4

）．

點評：本題綜合性強，考查了直線與圓，拋物線與圓的相關知識，用形數(shù)結(jié)合的觀點，只有當D，P，M三點共線時PM+PD的值最小，結(jié)合切割線定理，相似比求出P點坐標．