Question

【題目】如圖1，直線x+6與y軸交于點A，與x軸交于點D，直線AB交x軸于點B，將△AOB沿直線AB折疊，點O恰好落在直線AD上的點C處．

（1）求OB的長；

（2）如圖2，F，G是直線AB上的兩點，若△DFG是以FG為斜邊的等腰直角三角形，求點F的坐標；

（3）如圖3，點P是直線AB上一點，點Q是直線AD上一點，且P，Q均在第四象限，點E是x軸上一點，若四邊形PQDE為菱形，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）OB=3；（2）F（6，-6）；（3）E（-2，0）．

【解析】

（1）設BC=OB=x，則BD=8-x，在Rt△BCD中，根據，構建方程即可解決問題；

（2）作GM⊥x軸于M，FN⊥x軸于N，由△DMG≌△FND（AAS），推出GM=DN，DM=FN，設GM=DM=m，DM=FN=n，根據G、F在直線AB上，構建方程組即可解決問題；

（3）如圖，設Q，因為PQ∥x軸，且點P在直線y=-2x+6上，推出P，PQ=，作QH⊥x軸于H．由勾股定理可知：QH：DH：DQ=3：4：5，構建方程即可解決問題．

解：（1）對于直線，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），

令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），

AC＝AO＝6，OD＝8，AD，

設BC＝OB＝x，則BD＝，

在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，

x＝3，

OB=3．

（2）設直線AB的解析式為y＝kx+6（k≠0），

OB=3，即B（3，0），

把B（3，0）代入y＝kx+6得，

3k+6＝0，

直線AB的解析式為y＝-2x+6，

作GM⊥x軸于M，FN⊥x軸于N，

△DFG是等腰直角三角形，

DG＝FD，∠GDF=90°，

在△DMG和△FND中，

GM＝DN，DM＝FN，設GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，

G、F在直線AB上，

則：，

解得：

ON=OD-DN=8-2=6，

F（6，-6）．

（3）如圖，設Q（a，），

PQ//x軸，且點P在直線上，

P（），

PQ，作QH⊥x軸于H．

∴，

，

由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，

四邊形PQDE為菱形，

Q（16，-6），P（6，-6），