Question

【題目】已知拋物線和拋物線（為正整數(shù)）．

（1）拋物線與軸的交點(diǎn)______，頂點(diǎn)坐標(biāo)______；

（2）當(dāng)時，請解答下列問題．

①直接寫出與軸的交點(diǎn)______，頂點(diǎn)坐標(biāo)______，請寫出拋物線，的一條相同的圖象性質(zhì)______；

②當(dāng)直線與，相交共有4個交點(diǎn)時，求的取值范圍．

（3）若直線（）與拋物線，拋物線（為正整數(shù)）共有4個交點(diǎn)，從左至右依次標(biāo)記為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時，求出，之間滿足的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1），；；（2）①，；；對稱軸為直線（或與軸交點(diǎn)為，）；②，且，；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)，可以求得該拋物線與x軸的交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決；

（2）①將n＝1，代入yn得，據(jù)此可以求得該拋物線與x軸的交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)（1）中的結(jié)果，寫出拋物線y，yn的一條相同的圖象性質(zhì)即可；

②求出直線與相交只有1個交點(diǎn)時m的值，直線與相交只有1個交點(diǎn)時m的值，過點(diǎn)時m的值，過點(diǎn)時m的值，根據(jù)函數(shù)圖象，從而可以得到當(dāng)直線y＝x＋m與y，yn相交共有4個交點(diǎn)時，m的取值范圍；

（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，，根據(jù)可得，進(jìn)而可以求出k，n之間滿足的關(guān)系式．

解：（1）∵拋物線，

∴當(dāng)y＝0時，x1＝3，x2＝1，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

∴拋物線y＝x2＋2x＋3與x軸的交點(diǎn)為（3，0），（1，0），

故答案為：（1，0），（3，0）；（1，4）；

（2）①當(dāng)n＝1時，

拋物線，

∴當(dāng)y1＝0時，x3＝3，x4＝1，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），

∴該拋物線與x軸的交點(diǎn)為（3，0），（1，0），

拋物線y，yn的一條相同的圖象性質(zhì)是對稱軸都是x＝1（或與x軸的交點(diǎn)都是（1，0），（3，0））；

②當(dāng)直線與相交只有1個交點(diǎn)時，

由，得，

則，

∴，

當(dāng)直線與相交只有1個交點(diǎn)時，

由，得，

則，

∴，

∴.

把，代入，得；把，代入，得，

∴，且，；

（3）由，得，

∴，

由，得，

∴，

∵，

∴

∴，

化簡得：．