Question

如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F．

（1）求證：AB-OF=

1

2

AC；
（2）點(diǎn)A₁、點(diǎn)C₁分別同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間后同時(shí)停止，如圖，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于點(diǎn)F₁，過點(diǎn)F₁作F₁E⊥A₁C₁，垂足為E，請(qǐng)猜想EF₁，AB與

1

2

A1C1三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)A₁E₁=6，C₁E₁=4時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：過F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，F(xiàn)O⊥AC，F(xiàn)G⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DBA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF=

1

2

AC+OF，
∴AB-OF=

1

2

AC．

（2）過F₁作F₁G₁⊥A₁B，過F₁作F₁H₁⊥BC₁，則四邊形F₁G₁BH₁是矩形．
同（1）可得EF₁=F₁G，因此四邊形F₁G₁BH₁是正方形．
∴EF₁=G₁F₁=F₁H₁，
即：F₁是三角形A₁BC₁的內(nèi)心，
∴EF₁=（A₁B+BC₁-A1C1）÷2…①
∵A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-CC₁，而CC₁=A₁A，
∴A₁B+BC₁=2AB，
因此①式可寫成：EF₁=（2AB-A₁C₁）÷2，
即AB-EF1=

1

2

A₁C₁．

（3）由（2）得，F(xiàn)₁是三角形A₁BC₁的內(nèi)心，且E₁、G₁、H₁都是切點(diǎn)．
∴A₁E=（A₁C₁+A₁B-BC₁）÷2，
如果設(shè)CC₁=A₁A=x，
A₁E=[A₁C₁+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A₁BC₁中，根據(jù)勾股定理有A₁B²+BC₁²=AC₁²，
即：（AB+1）²+（AB-1）²=100，
解得AB=7，
∴BD=7

2

．