Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，設(shè)p=BC+CD，記四邊形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，面積為S．
（1）若已知p=6，BC•CD=8，求周長(zhǎng)L的值．
（2）試探究出S與p之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)BD，利用勾股定理求出AB和AD的長(zhǎng)即可求出周長(zhǎng)L的值．
（2）利用三角形的面積公式和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到S與p之間的關(guān)系．

解答：解：（1）如圖，連結(jié)BD，
∵△BCD中，∠BCD=90°，p=BC+CD=6，BC•CD=8，
∴p²=BC²+CD²+2BC•CD=36，
∴BC²+CD²=36-16=20=BD²
又△ABD中，∠DAB=90°，AB=AD，
∴2AB²=BD²=20，
∴AB=AD=

10

，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)L=2

10

+6，

（2）如圖，
∵p=BC+CD，又△BCD中，∠BCD=90°，
∴S△BCD=

1

2

BC•CD=

1

4

(p2-BD2)，
又∵AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
∴S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

AB²=

1

4

BD²，
∴S=S△BCD+S△ABD=

1

4

(p2-BD2)+

1

4

BD2=

1

4

p2…10

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是連接BD，構(gòu)造直角三角形．