Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于點E，且AE⊥CP于點D，且AC平分∠DAB．
（1）求證：直線CP與⊙O相切．
（2）若AB=10，∠CAB=30°，求CD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
又∵∠OAC=∠DAC，
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP，
∴直線CP與⊙O相切．

（2）解：連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
∵AB=10，∠CAB=30°，
∴BC=10÷2=5
∴AC=．
又∵∠1=∠2=30°，AE⊥CP于點D，
∴CD=．
分析：（1）如圖，連接OC．欲證明直線CP與⊙O相切，只需要證得OC⊥CD；
（2）在直角△ABC中，利用“30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”、勾股定理可以求得AC=．然后在直角△ACD中，利用“30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”來求線段CD的長度．
點評：本題考查了切線的判定、勾股定理以及圓周角定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．