Question

如圖，已知A（2，4），以A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)交x軸于B．
（1）求拋物線解析式；
（2）取OA上一點(diǎn)D，以O(shè)D為直徑作⊙C交x軸于E，作EF⊥AB于F，求證EF是⊙C的切線；
（3）設(shè)⊙C半徑為r，EF=m，求m與r的函數(shù)關(guān)系式及自變量r的取值范圍；
（4）當(dāng)⊙C與AB相切時(shí)，求⊙C半徑r的值．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式的二次函數(shù)通式來設(shè)二次函數(shù)的解析式，將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）要證EF是圓C的切線，那么可連接CE，證CE⊥EF即可，由于EF⊥AB，那么只需證明CE∥AB即可得出EF是切線的結(jié)論，那么OC=CE，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得OA=AB，由這兩組相等的線段即可得出∠OEC=∠ABO，由此可得證；
（3）由（2）可知∠ABO=∠AOB，那么可通過三角函數(shù)來解，根據(jù)A，O，B的坐標(biāo)不難得出∠AOB，∠ABO的正弦值，那么可過C作OB的垂線，垂足為M，可在直角三角形OCM中，用∠AOB的正切值以及r的長表示出OM，也就求出了OE，進(jìn)而可表示出BE的長，然后在直角三角形BFE中，根據(jù)∠ABO的正弦值用BE表示出BF，由此可得出關(guān)于m，r的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如果⊙C與AB相切，設(shè)切點(diǎn)為G，那么如果連接CG，四邊形CEFG就是正方形，那么r=m=EF，那么根據(jù)（3）中m，r的函數(shù)關(guān)系式，將m=r代入（3）的函數(shù)關(guān)系式中即可求出r的值．

解答：解：（1）設(shè)y=a（x-2）²+4，由于拋物線過原點(diǎn)（0，0），則有
0=4a+4，
即a=-1．
因此拋物線的解析式為：y=-x²+4x．

（2）連CE，則∠COE=∠CEO，
根據(jù)A是拋物線的頂點(diǎn)，可知OA=AB，即∠AOB=∠OBA．
∴∠OEC=∠ABO．
∴CE∥AB，又EF⊥AB，
∴CE⊥EF
∴EF是⊙C的切線．

（3）分別過C、A作OB的垂線，垂足分別為M、N，
直角三角形OAN中，cos∠AOB=

5

5

，
因此：OM=

5

5

r，OE=2OM=

2 5

5

r，EB=4-

2 5

5

r
∴m=-

4

5

r+

8 5

5

（0＜r＜

5

）；

（4）設(shè)⊙C切AB于點(diǎn)G
連接CG，則CG⊥AB
∴∠CGF=∠EFG=∠CEF=90°
∴四邊形CEFG為矩形
又CE=CG
∴四邊形CEFG為正方形
∴EF=r
∴m=r①
由（3）得m=-

4

5

r+

8 5

5

，
解得r=

8 5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，解直角三角形以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的基本思路．