Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=x+3與坐標(biāo)軸交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2-2x+c與x軸交于另一點(diǎn)B拋物線頂點(diǎn)為E，連接AE．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)E坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是線段AE上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF平行于y軸交AC于點(diǎn)B連接EF，求△PEF面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以AE為對(duì)角線的矩形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x+3，頂點(diǎn)E（-1，4）；（2）當(dāng)x=-2時(shí)，S△PEF有最大值為，點(diǎn)P（-2，2）；（3）點(diǎn)N坐標(biāo)為：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．

【解析】

（1）一次函數(shù)y=x+3與坐標(biāo)軸交于A、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（-3，0）、（0，3），將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）S△PEF=PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），即可求解；
（3）分點(diǎn)M（m，0）在x軸上、點(diǎn)M在y軸上兩種情況分別求解．

（1）一次函數(shù)y=x+3與坐標(biāo)軸交于A、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（-3，0）、（0，3），

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x+3，

頂點(diǎn)E（-1，4）；

（2）將點(diǎn)A、E的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線AE的表達(dá)式為：y=2x+6，

設(shè)點(diǎn)P（x，2x+6），則點(diǎn)F（x，x+3），

S△PEF=PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），

當(dāng)x=-2時(shí)，S△PEF有最大值為，

此時(shí)點(diǎn)P（-2，2）；

（3）點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（-1，4），AE2=20，

①當(dāng)點(diǎn)M（m，0）在x軸上時(shí)，

設(shè)點(diǎn)N（s，t），

則AE=MN，且AE中點(diǎn)坐標(biāo)為MN中點(diǎn)坐標(biāo)，

即：，解得：，

故點(diǎn)N（-3，4）或（-1，4）；

②當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，

同理可得：點(diǎn)N（1，-4）或（3，-4）；

綜上，點(diǎn)N坐標(biāo)為：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．