Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=10，AD=6，BC=18，M是CD的中點，P是BC邊上的一動點（P與B，C不重合），連接PM并延長交AD的延長線于Q。
（1）當P在B，C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？請說明理由；
（2）當四邊形ABPQ是直角梯形時，點P與C距離是多少？

Answer 1

（1）解：當CP=6時，四邊形ABPQ是平行四邊形．理由：
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CDQ，∠QPC=∠Q，
∵CM=DM
∴△CMP≌△DMQ，
∴PC=DQ=6，而BP=BC﹣PC=18﹣6=12，AQ=AD+DQ=6+6=12，
∴BP=AQ，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形；
（2）解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
由于AB=CD，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，由于AE∥DF，AD∥EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD=EF，
∴，
∴，
由（1）知：QM=MP，
∴MP=4，
∴，
答：當四邊形ABPQ是直角梯形時，點P與C距離是3。