Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜邊BC上距離C點(diǎn)2cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，并且DF交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)Q，EF交AC于點(diǎn)M，則PQ的長為多少cm？
（2）在（1）的條件下，求旋轉(zhuǎn)后△DEF與△ABC重疊部分的面積S；
（3）以斜邊BC上距離C點(diǎn)xcm的點(diǎn)P為中心（P不是B、C），把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)以斜邊BC上距離C點(diǎn)2cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，可以得出PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，即可求出答案；
（2）根據(jù)△PMC∽△ABC，相似比PC：AC=2：4=1：2，可求S_△PMC；已知PC、S_△PMC，可求PM，從而可得PQ，CQ，再由△NQC∽△ABC，相似比為CQ：CB，利用面積比等于相似比的平方求S_△NQC，用S_{四邊形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC求面積．
（3）點(diǎn)P從C點(diǎn)逐漸向B移動(dòng)時(shí)，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點(diǎn)的三個(gè)取值范圍，如圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個(gè)特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點(diǎn)．首先求出CP₁的長．對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當(dāng)AN=0時(shí)的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=

5

4

x，MN=

3

20

x，所以NC=NM+MC=

7

5

x，從而AN=AC-NC=4-

7

5

x，由AN=0求出x=

20

7

；對于圖2中點(diǎn)P₂的位置，容易求得P₂C=

16

5

，
①當(dāng)P在CP₁間，即0＜x≤

20

7

時(shí)，可以求出函數(shù)解析式；
②當(dāng)P在P₁P₂間，即

20

7

＜x≤

16

5

時(shí)，由y=S_△ABC-S_△CPM可以求出函數(shù)解析式；
③當(dāng)P在P₂B間，即

16

5

＜x＜5時(shí)，求出函數(shù)解析式．

解答：解：（1）∵以斜邊BC上距離C點(diǎn)2cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，
∴PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，
∴

PF

AC

=

PQ

AB

，
∴

2

4

=

PQ

3

，
∴PQ=1.5；

（2）∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴BC=5，PC=2，S_△ABC=6，
∵S_△PMC：S_△ABC=1：4，即S_△PMC=

3

2

，
∴PM=PQ=

3

2

，
∴QC=

7

2

，
∴S_△NQC：S_△ABC=QC²：BC²=（

7

2

）²：5²，
∴S_△NQC=

147

50

，
∴S_{四邊形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC=1.44cm²．

（3）點(diǎn)P從C點(diǎn)逐漸向B移動(dòng)時(shí)，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點(diǎn)的三個(gè)取值范圍，
見圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個(gè)特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點(diǎn)．下面先求出CP₁的長．
對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當(dāng)AN=0時(shí)的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=

5

4

x，
MN=

3

20

x，∴NC=NM+MC=

3

20

x+

5

4

x=

7

5

x，
從而AN=AC-NC=4-

7

5

x，
由AN=0，解得x=

20

7

；（10分）
對于圖2中點(diǎn)P₂的位置，容易求得P₂C=

16

5

．（11分）
①當(dāng)P在CP₁間，即0＜x≤

20

7

時(shí)，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=

1

2

PC•MP-

1

2

FN•NM
=

1

2

x•

3

4

x-

1

2

×

1

5

x•

3

20

x=

9

25

x²，（12分）
②當(dāng)P在P₁P₂間，即

20

7

＜x≤

16

5

時(shí)，y=S_△ABC-S_△CPM=6-

1

2

•x•

3

4

x=6-

3

8

x²；（13分）
③當(dāng)P在P₂B間，即

16

5

＜x＜5時(shí)，y=S_△MPB=

1

2

•（5-x）•

4

3

（5-x）=

2

3

（5-x）²．（14分）
故：當(dāng)0＜x≤

20

7

時(shí)，y=

9

25

x²；
當(dāng)

20

7

＜x≤

16

3

時(shí)，y=6-

3

8

x²；
當(dāng)

16

3

＜x＜5時(shí)，y=

2

3

（5-x）²．

點(diǎn)評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．據(jù)此得判斷出相等的對應(yīng)角，得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解答．