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        1. 將編號為1,2,…,18的18名乒乓球運動員分配在9張球臺上進行單打比賽,規(guī)定每張球臺上兩選手編號之和均為大于4的平方數(shù).請問這一規(guī)定能否實現(xiàn)?若規(guī)定不能實現(xiàn),請給出證明;若規(guī)定能夠實現(xiàn),請說明實現(xiàn)方案是否唯一.
          分析:首先由編號最大的兩數(shù)之和為35,求得:同一張球臺上兩選手編號之和只能取三個平方數(shù)是25,16,9;然后設同一張球臺上兩選手編號和為25、16、9的分別有x個、y個、z個,根據(jù)題意列方程,又由x、y、z均為非負整數(shù),即可求得符合條件的x,y,z的值,則可求得答案.
          解答:解:∵編號最大的兩數(shù)之和為:18+17=35<36,
          ∴同一張球臺上兩選手編號之和只能取三個平方數(shù):25,16,9.
          現(xiàn)設同一張球臺上兩選手編號和為25、16、9的分別有x個、y個、z個(x、y、z均為非負整數(shù)),
          依題意有25x+16y+9z=1+2+…+18,x+y+z=9,x≥0,y≥0,z≥0,
          即16x+7y+9(x+y+z)=171,x+y+z=9,x≥0,y≥0,z≥0,
          得16x+7y=90,x≥0,y≥0,z≥0.
          又由0≤x≤
          90
          16
          <6知,x只能取非負整數(shù)0,1,2,3,4,5.
          逐一代入檢驗,可得方程唯一的非負整數(shù)解x=3,y=6,z=0.
          下面討論9張球臺上的選手對陣情況.
          (1)由x=3,知平方數(shù)為25只能有3個,而編號不小于16的3個選手18,17,16對應的平方數(shù)又只能為25,
          故“兩選手編號和為25”的只能是:18與7對陣,17與8對陣,16與9對陣.
          (2)由y=6,知去掉18,17,16,9,8,7后剩下的12個選手對應的平方數(shù)能且只能為16,有:1與15對陣,2與14對陣,3與13對陣,4與12對陣,5與11對陣,6與10對陣.
          故規(guī)定能夠實現(xiàn),且實現(xiàn)方案是唯一的.9張球臺上選手對陣情況為:
          (18,7),(17,8),(16,9),(15,1),(14,2),(13,3),(12,4),(11,5),(10,6).
          點評:此題考查了整數(shù)問題的綜合應用.解題的關鍵是能根據(jù)題意列的方程,然后利用分類討論思想求解.
          練習冊系列答案
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