Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，﹣5)．

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為B、C，得到矩形ABOC，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

①求拋物線的解析式．

②將拋物線沿直線x＝m（2＞m＞0）翻折，分別交線段OB、AC于D，E兩點(diǎn)．若直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，求m的值．

（2）將拋物線旋轉(zhuǎn)180°，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1(m﹣2，n﹣4)，其中m≤2．若旋轉(zhuǎn)后的拋物線仍然經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)所能達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣4x﹣5，②；（2）(2，﹣1)

【解析】

（1）①由矩形的性質(zhì)確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C、A的坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c即可求出拋物線的解析式；

②求出拋物線y＝x2﹣4x﹣5的對(duì)稱軸，求出翻折后的拋物線的對(duì)稱軸，可寫(xiě)出翻折后的解析式，求出D，E兩點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)橹本�DE剛好平分矩形ABOC的面積，則必過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)Q(2，﹣)，則可列出關(guān)于m的方程，即可求出m的值；

（2）由點(diǎn)A、A1的坐標(biāo)可求出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)，進(jìn)一步推出原頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，可寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式，因?yàn)樾�轉(zhuǎn)后的拋物線仍然經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入旋轉(zhuǎn)后的解析式，可得關(guān)于m、n的等式，將m＝2代入，可求出n的值，即可寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)所能達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)．

解：（1）①∵點(diǎn)A(4，﹣5)，且四邊形ABOC為矩形，

∴C(0，﹣5)，

∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣5，

將點(diǎn)A(4，﹣5)代入y＝x2+bx﹣5，

得，b＝﹣4，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；

②在拋物線y＝x2﹣4x﹣5中，

對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，

∵拋物線y＝x2﹣4x﹣5沿直線x＝m(2＞m＞0)翻折，

∴設(shè)翻折后的拋物線對(duì)稱軸為直線x＝n，

∴=m，

∴n＝2m﹣2，

∴翻折后的拋物線為y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9，

在y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9中，當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝2m+1，x2＝2m﹣5；當(dāng)y＝﹣5時(shí)，x1＝2m，x2＝2m﹣4；

∵如下圖，拋物線y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9分別交線段OB、AC于D，E兩點(diǎn)，

∴D(2m+1，0)，E(2m，﹣5)，

∵直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，

∴必過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)Q(2，﹣)，

即＝2，

∴m＝；

（2）∵將拋物線旋轉(zhuǎn)180°，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1(m﹣2，n﹣4)，其中m≤2，

∵A(4，﹣5)，

∴旋轉(zhuǎn)中心為(，)，

∴原頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(m，n)，

∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線為y＝﹣(x﹣m)2+n，

∵旋轉(zhuǎn)后的拋物線仍然經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴﹣5＝﹣(4﹣m)2+n，

∵m≤2，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，n＝﹣1，

∵旋轉(zhuǎn)后拋物線開(kāi)口向下，

∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)所能達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)(2，﹣1)．