Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，點(diǎn)P是腰AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求BC的長(zhǎng)．
（2）如圖1，如果點(diǎn)M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面積，求出此時(shí)PB的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)P作直線PM，是否存在PM將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=12，
∴sin60°=

AE

12

，
∴AE=6

3

，
∴BE=6，同理可證：FC=6，
∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；

（2）作△PBM的高PG，


∵等腰梯形ABCD的面積是：

1

2

（AD+BC）?AE=

1

2

×（4+16）×6

3

=60

3

∵PM平分梯形ABCD的面積，
∴S_△PBM=30

3

，
∵BM=12，
∴PG=5

3

，
∵∠B=60°，
∴PB=

5 3

sin60°

，
∴PB=10；

（3）當(dāng)M在BC上時(shí)，梯形ABCD的周長(zhǎng)是4+12+16+12=44，
∵PB=10，BM=12時(shí)PB+BM=22（符合題意），
PB=12，BM=10時(shí) PB+BM=22（符合題意），
當(dāng)M在DC上時(shí)（舍去），
當(dāng)M在AD上（舍去），
則存在符合題意的直線PM．