Question

如圖，∠AOB=90°，將三角尺的直角頂點(diǎn)落在∠AOB的平分線OC的任意一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)E、F．
（1）證明：PE=PF；
（2）若OP=10，試探索四邊形PEOF的面積為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
又∵P為∠AOB的平分線OC上的任意一點(diǎn)，
∴PM=PN．
又知∠MPN=∠EPF=90°，
故∠EPM=∠FPN=90°-∠EPN，
在△PME與△PNF中，
∵，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PE=PF；

（2）∵∠OMP=∠MON=∠ONP=90°，
∴四邊形ONPM是矩形，
∵PM=PN，
∴矩形ONPM是正方形．
由（1）知△PME≌△PNF，
∴四邊形PEOF的面積=正方形ONPM的面積．
又∵OP=10，
∴正方形ONPM的面積=10×10÷2=50，
∴四邊形PEOF的面積=50．
分析：（1）如果過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．首先利用角平分線的性質(zhì)得出PM=PN，然后由ASA證出△PME≌△PNF，從而得出PE=PF；
（2）首先證明四邊形ONPM是正方形，然后由（1）知△PME≌△PNF，則四邊形PEOF的面積=正方形ONPM的面積，又正方形ONPM的對(duì)角線OP=10是一個(gè)定值，從而得出四邊形PEOF的面積為定值，并求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及面積的計(jì)算，難度中等．