Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），連接OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．
（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）由已知得OA=2，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則OB與x軸的正方向夾角為60°，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，解直角三角形可得OD、BD的長(zhǎng)，可表示B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直接將A、O、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)A，O關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接AB交對(duì)稱軸于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為所求，求直線AB的解析式，再根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，求縱坐標(biāo)；
（4）設(shè)P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），用割補(bǔ)法可表示△PAB的面積，根據(jù)面積表達(dá)式再求取最大值時(shí)，x的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°
∴OD=1，DB=

3

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，

3

）．（2分）

（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由已知可得：

c=0 a+b+c= 3 4a-2b+c=0

，
解得：a=

3

3

，b=

2 3

3

，c=0，
∴所求拋物線解析式為y=

3

3

x²+

2 3

3

x．（4分）

（3）存在，
由y=

3

3

x²+

2 3

3

x配方后得：y=

3

3

（x+1）²-

3

3

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1（6分）
（也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出）
∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸x=-1上，△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC的周長(zhǎng)最小，必須BC+CO最小，
∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，有CO=CA
△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CA最小，此時(shí)△BOC的周長(zhǎng)最小．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有：

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得：k=

3

3

，b=

2 3

3

，
∴直線AB的解析式為y=

3

3

x+

2 3

3

，（7分）
當(dāng)x=-1時(shí)，y=

3

3

，
∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，

3

3

），（8分）

（4）設(shè)P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），
則y=

3

3

x²+

2 3

3

x①
過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，PG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AF⊥PQ軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥PQ軸于點(diǎn)E，
則PQ=-x，PG=-y，
由題意可得：S_△PAB=S_梯形AFEB-S_△AFP-S_△BEP（9分）
=

1

2

（AF+BE）•FE-

1

2

AF•FP-

1

2

PE•BE
=

1

2

（-y+

3

-y）（1+2）-

1

2

（-y）（x+2）-

1

2

（1-x）（

3

-y）
=-

3

2

y+

3

2

x+

3

②
將①代入②，
化簡(jiǎn)得：S_△PAB=-

3

2

x²-

3

2

x+

3

（10分）
=-

3

2

（x+

1

2

）²+

9 3

8

∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，△PAB得面積有最大值，最大面積為

9 3

8

．（11分）
此時(shí)y=

3

3

×

1

4

+

2 3

3

×(-

1

2

)=-

3

4

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

1

2

，-

3

4

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)求法，拋物線解析式的求法，根據(jù)對(duì)稱性求線段和最小的問題，也考查了在坐標(biāo)系里表示面積及求面積最大值等問題；
解答本題（4）也可以將直線AB向下平移至與拋物線相切的位置，聯(lián)立此時(shí)的直線解析式與拋物線解析式，可求唯一交點(diǎn)P的坐標(biāo)．