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        1. 【題目】(本題滿分9分)小明一直對四邊形很感興趣,在矩形ABCD中,EAC上任意一點,連接DE,作DEEF,交AB于點F.請你跟著他一起解決下列問題:

          1)如圖,若AB=BC,則DE,EF有什么數(shù)量關(guān)系?請給出證明.

          2)如圖,若CAB=30°,則DE,EF又有什么數(shù)量關(guān)系?請給出證明.

          3)由(1)、(2)這兩種特殊情況,小明提出問題:如果在矩形ABCD中,BC=mAB,那DE,EF有什么數(shù)量關(guān)系?請給出證明.

          【答案】(1)DE=EF.(2)DE=EF.(3)DE=EF.

          【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EAH=45°,得到HE=HA,根據(jù)正方形的判定定理證明四邊形AHEG是正方形,證明EDG≌△EFH,得到答案;(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理解答;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理列出比例式解答.

          試題解析:(1DE=EF

          過點EEGADG,EHABH

          EGD=EHF=90°,又BAD=90°

          四邊形EGAH是矩形,

          四邊形ABCD是矩形,AB=AD,

          矩形ABCD為正方形,

          ∴∠EAH=45°,

          HE=HA,

          四邊形AHEG是正方形,

          EH=EGGEH=90°,

          ∴∠FEDGEF=GEHGEF,

          DEG=FEH,

          EDGEFH中,

          ∴△EDG≌△EFH

          DE=EF;

          2DE=EF

          ∵∠CAB=30°,

          ,

          同(1)得,EGD=EHF=90°,DEG=FEH

          ∴△EDG∽△EFH

          ,

          DE=EF;

          3DE=EF

          同(2)得,EDG∽△EFH,

          ,

          DE=EF

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          3)當PQ的長度取最大值時,PQx軸的交點記為D,在x軸上是否存在點E,使以點B,CE為頂點的三角形與BQD相似.如果存在,直接寫出E點坐標,如果不存在,請說明理由.

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          ②當點D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?

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