Question

已知拋物線y = x²－2x + m－1與x軸只有一個交點，且與y軸交于A點，如圖，設它的頂點為B．
（1）求m的值；
（2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，如圖．請在拋物線C′上求點P，使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形．

Answer 1

（1）∵拋物線y = x²－2x + m－1與x軸只有一個交點，∴△=（－2）²－4×1×（m－1）= 0，解得 m = 2．
（2）由（1）知拋物線的解析式為 y = x²－2x + 1，易得頂點B（1，0），當 x = 0時，y = 1，得A（0，1）．
由 1 = x²－2x + 1 解得 x = 0（舍），或 x = 2，所以C（2，1）．
過C作x軸的垂線，垂足為D，則CD = 1，BD = x_D－x_B = 1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD = 45°，BC =．
同理，在Rt△AOB中，AO =" OB" = 1，于是∠ABO = 45°，AB =．
∴∠ABC = 180°－∠CBD－∠ABO = 90°，AB = BC，因此△ABC是等腰直角三角形．
（3）由題知，拋物線C′ 的解析式為y = x²－2x －3，當 x = 0時，y =－3；當y = 0時，x =－1，或x = 3，
∴ E（－1，0），F(xiàn)（0，－3），即 OE = 1，OF = 3．
①若以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P₁（x₁，y₁），作P₁M⊥x軸于M．
∵∠P₁EM +∠OEF =∠EFO +∠OEF = 90°，
∴∠P₁EM =∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，于是，即EM =" 3" P₁M．
∵ EM = x₁ + 1，P₁M = y₁，∴ x₁ + 1 =" 3" y₁．     （*）
由于P₁（x₁，y₁）在拋物線C′ 上，有3（x₁²－2x₁－3）= x₁ + 1，
整理得  3x₁²－7x₁－10 = 0，解得 x₁ =－1（舍），或．
把代人（*）中可解得．∴P₁（，）．
②若以F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P₂（x₂，y₂），作P₂N⊥與y軸于N．
同①，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，得，即P₂N =" 3" FN．
∵ P₂N = x₂，F(xiàn)N =" 3" + y₂，∴ x₂ = 3（3 + y₂）．     （**）
由于P₂（x₂，y₂）在拋物線C′ 上，有 x₂ = 3（3 + x₂²－2x₂－3），
整理得  3x₂²－7x₂ = 0，解得 x₂ = 0（舍），或．
把代人（**）中可解得．∴P₂（，）．
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為（，）或（，）．

解析