Question

如圖，AB是圓O的直徑，C是AB延長線上一點，CD切圓O于D，過點B作圓O的切線交CD于E，己知∠CDB=∠CAD，AB=CD=2，
（1）△CDB∽△CAD嗎？請說明理由；
（2）求CB的長；
（3）求CE的長（選作不計入總分）．

Answer 1

分析：（!）由∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△CDB∽△CAD；
（2）由△CDB∽△CAD，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得方程4=x（x+2），解此方程即可求得答案；
（3）首先連接OD，易證得△OCD∽△ECB，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得CE的長．

解答：解：（1）△CDB∽△CAD．
理由：∵∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，
∴△CDB∽△CAD；

（2）設BC=x，
∵AB=CD=2，
∴CA=x+2，
∵△CDB∽△CAD，
∴CD：CA=CB：AD，
即CD²=CB•CA，
∴4=x（x+2），
解得：x=-1±

5

（負值不合題意，舍去），
∴BC=-1+

5

．

（3）連接OD，
∵BE是⊙O的切線，CD切圓O于D，
∴OB⊥BE，OD⊥CD，
∴∠CBE=∠CDO=90°，
∵∠C是公共角，
∴△OCD∽△ECB，
∴

CE

OC

=

BC

CD

，
∴CE=

OC•BC

CD

=

(1-1+ 5 )×(-1+ 5 )

2

=

5- 5

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及切線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．