Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿A?B方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿C?D方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，交DB于點(diǎn)F，連接AF、QF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）記△DFQ的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式和自變量t的取值范圍；
（2）當(dāng)△ADF與△BDC相似時(shí)，求tan∠QFE的值；
（3）是否存在t，使得△DFQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）三角形DFQ中，底邊DQ的長(zhǎng)可用CD、CQ得出，QD邊上的高即EF的長(zhǎng)，可在直角三角形DEF中，根據(jù)DE的長(zhǎng)（即AP的長(zhǎng)）和∠CDB的正弦值求出．進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求出S，t的函數(shù)關(guān)系式．由于P、Q兩點(diǎn)中當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，因此可根據(jù)P點(diǎn)的速度和AB的長(zhǎng)來(lái)求出t的取值范圍．
（2）由于∠CDB=∠ADF，因此本題分兩種情況：①∠AFD=∠BCD，即△ADF∽△ABC，可根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例求出AP的長(zhǎng)，即可得出EF，QE的長(zhǎng)，據(jù)此可求出∠QFE的正切值．②∠DAF=∠DCB，即△DAF∽△BCD，解法同①
（3）分三種情況：
①FQ=FD，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可知此時(shí)QE=ED，可據(jù)此求出t的值．
②DQ=DF，DQ的長(zhǎng)可用CD-CQ表示出，DF的長(zhǎng)，可在直角三角形DEF中，用DE和∠CDB的余弦值求出．然后聯(lián)立這兩個(gè)含t的表達(dá)式相等即可得出t的值．
③QF=QD，可直接在直角三角形QEF中用勾股定理求出t的值．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABD=45°
又∵PE⊥CD，
∴△EDF和△BPF都為等腰直角三角形
∴EF=DE=AP=2t，DF=2

2

t
又∵DQ=8-t
∴s=

1

2

DQ•EF=

1

2

（8-t）•2t=-t²+8t
自變量t的取值范圍是0≤t≤4．

（2）當(dāng)△ADF與△BDC相似時(shí)，
∵∠ADF=∠BDC=45°，
∴

DF

CD

=

DA

DB

或

DF

DB

=

DA

CD

由

DF

CD

=

DA

DB

，
得

2 2 t

8

=

8

8 2

，t=2
這時(shí)EF=4，QE=8-3t=2
∴tan∠QFE=

QE

EF

=

1

2

由

DF

DB

=

AD

CD

，
得

2 2 t

8 2

=

8

8

，t=4．
這時(shí)，點(diǎn)F與B重合，點(diǎn)E與C重合
∴tan∠QFE=tan∠QBC=

QC

CB

=

4

8

=

1

2

．

（3）①當(dāng)FQ=FD時(shí)，QE=ED，即8-3t=2t，5t=8，t=1.6；
②當(dāng)DQ=DF時(shí)，即8-t=2

2

t，t=

8

2 2 +1

=

-8+16 2

7

；
③當(dāng)QF=QD時(shí)，QE²+EF²=QD²，即（8-3t）²+（2t）²=（8-t）²，t=

8

3

．
綜上所述，存在t的值，分別為t=1.6或t=

-8+16 2

7

或

8

3

時(shí)，△DFQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：該題綜合性較強(qiáng)，它將二次函數(shù)和正方形、解直角三角形、相似三角形的判定、等腰三角形的構(gòu)成情況等貫穿在一起，考查綜合分析問(wèn)題能力，要注意（2）（3）兩小題都要分類討論，不要漏解．