Question

a為正整數(shù)．記號[2a+1，2a+2，2a+3]表示2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍數(shù)，以N表示它，若2a+4整除N，求a．

Answer 1

【答案】分析：利用已知得出一定是整數(shù)，利用整除的性質(zhì)，得出一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；k為正整數(shù)，結合不等式的性質(zhì)得出a的值．
解答：解：∵2a+1，2a+2，2a+3的最小公倍數(shù)是N，
∴可得到：（2a+1）（a+1）（2a+3）=N，
又因為2a+4整除N，
∴一定是整數(shù)，
∴一定有（2a+1）=k（a+2），或a+1=k（a+2）或2a+3=k（a+2）；
當（2a+1）=k（a+2），k為正整數(shù)，
∴（2-k）a=2k-1
a=，∵a為正整數(shù)，
∴2-k≥2k-1，∴k≤1，又∵k＞0，且為正整數(shù)，
∴k=1，代入上式得：a=1；
當a+1=k（a+2），k為正整數(shù)，
∴（1-k）a=2k-1
∴a=，∵a為正整數(shù)，
∴2k-1≥1-k，∴k≥，
又∵（1-k）＞0，且為正整數(shù)，
∴k＜1，∴≤k＜1．
∴沒有正整數(shù)k符合要求；
當2a+3=k（a+2），k為正整數(shù)，
∴（2-k）a=2k-3
∴a=，∵a為正整數(shù)，
∴2k-3≥2-k，∴k≥
又∵（2-k）＞0，且為正整數(shù)，
∴k＜2，∴≤x＜2；
∴沒有正整數(shù)k符合要求．
綜上所述：a=1．
點評：此題主要考查了整數(shù)根的求法和最小公倍數(shù)的性質(zhì)，以及不等式知識的綜合應用等知識．