Question

如圖，等腰梯形ABCD的BC邊位于x軸上，A點(diǎn)位于y軸上，∠ABC=45°，BD平分AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并且B（-1，0）．
（1）求過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式；
（2）P為（1）中拋物線上異于B的一點(diǎn)，過B、P兩點(diǎn)的直線將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)Q使△ABQ為直角三角形？若存在，求△ABQ的面積；若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BO，BD平分AO
∴AD=BO
∵等腰梯形ABCD的∠ABC=45°
∴OC=2OB，OA=OB
即A（0，1），B（-1，0），C（2，0）
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-2），把A（0，1）代入得，a=-
∴拋物線的解析式為：y=-+x+1；

（2）設(shè)直線BP交CD于E（m，n），由題意知2S_△BEC=S_梯形ABCD
∴2×=
∴n=
用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為：y=-x+2
把E點(diǎn)的坐標(biāo)代入CD的解析式得m=
∴E（，）
用待定系數(shù)法求出BE的解析式為y=x+，
與拋物線的解析式y(tǒng)=-+x+1建立方程組求得
∴P（，）

（3）存在
①當(dāng)∠BAQ=90°時(shí)，如圖，AQ與x軸交于F，做QH⊥x軸于H，設(shè)Q（m，t）
∴△ABF、△QHF都為等腰直角三角形
∴F（1，0），QH=FH，即-t=m-1，t=-m²+m+1，求得m=3
∴QH=FH=2
∴AQ=AF+FQ=3
∴S_△ABQ=+=3
②當(dāng)∠ABQ=90°時(shí)，作QG⊥x軸于G，設(shè)Q（a，b）
∴△QGB為等腰直角三角形
∴QG=BG，即-b=a+1
∵b=-a²+a+1，
解得a=4，
∴BG=5，BQ=5
∴S_△ABQ==5
綜上所述，S_△ABQ=3或5．
分析：（1）根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出OB的長度，通過解直角三角形可以AO的長度而求出A點(diǎn)的坐標(biāo)及AB的長度，然后求出AD的長度根據(jù)解直角三角形求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）如圖根據(jù)條件中的面積關(guān)系求出△BCE的BC邊上的高，即知道E點(diǎn)的總坐標(biāo)，再 根據(jù)C、D的坐標(biāo)求出CD的解析式，利用E點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線BE的解析式，最后代入拋物線的解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）如圖分為兩種情況使△ABQ為直角三角形，利用三角形的角的特殊關(guān)系45°求出線段的長度，從而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)Q點(diǎn)的坐標(biāo)求出△ABQ的面積．BO，BD平分
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，直線函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積的計(jì)算多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．