Question

【題目】如圖，拋物線y=a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）頂點為P，與y軸相交于點A（0，m﹣1）．連接并延長PA、PO分別與x軸、拋物線交于點B、C，連接BC，將△PBC繞點P逆時針旋轉得△PB′C′，使點C′正好落在拋物線上．

（1）該拋物線的解析式為（用含m的式子表示）；
（2）求證：BC∥y軸；
（3）若點B′恰好落在線段BC′上，求此時m的值．

Answer 1

【答案】
（1）y= （x﹣m）2+2m﹣2
（2）

證明：如圖1，

設直線PA的解析式為y=kx+b，

∵點P（m，2m﹣2），點A（0，m﹣1）．

∴ ．

解得： ．

∴直線PA的解析式是y= x+m﹣1．

當y=0時， x+m﹣1=0．

∵m＞1，

∴x=﹣m．

∴點B的橫坐標是﹣m．

設直線OP的解析式為y=k′x，

∵點P的坐標為（m，2m﹣2），

∴k′m=2m﹣2．

∴k′= ．

∴直線OP的解析式是y= x．

聯(lián)立

解得： 或 ．

∵點C在第三象限，且m＞1，

∴點C的橫坐標是﹣m．

∴BC∥y軸

（3）

方法一：

解：若點B′恰好落在線段BC′上，

設對稱軸l與x軸的交點為D，連接CC′，如圖2，

則有∠PB′C′+∠PB′B=180°．

∵△PB′C′是由△PBC繞點P逆時針旋轉所得，

∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．

∴∠PBC+∠PB'B=180°．

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO=180°．

∴∠PB′B=∠BAO．

∵PB=PB′，PC=PC′，

∴∠PB′B=∠PBB′= ，

∴∠PCC′=∠PC′C= ．

∴∠PB′B=∠PCC′．

∴∠BAO=∠PCC′．

∵點C關于直線l的對稱點為C′，

∴CC′⊥l．

∵OD⊥l，

∴OD∥CC′．

∴∠POD=∠PCC′．

∴∠POD=∠BAO．

∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，

∴△BAO∽△POD．

∴ ．

∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，

∴ ．

解得：m1=2+ ，m2=2﹣ ．

經檢驗：m1=2+ ，m2=2﹣ 都是分式方程的解．

∵m＞1，

∴m=2+ ．

∴若點B′恰好落在線段BC′上，此時m的值為2+ ．

方法二：

∵點C關于直線l的對稱點為C″，

∴Px= ，

∵C（﹣m，2﹣2m），P（m，2m﹣2），

∴m= ，

∴C′X=3m，

∴C′（3m，2﹣2m），

∵將△PBC繞點P逆時針旋轉，

∴△BCP≌△B′C′P，

∵點B′恰好落在線段BC′上，

∴線段BP所對的∠BCP=∠B′C′P，

∴點P，B，C，C′四點共圓，（同側共底的兩個三角形頂角相等，則四點共圓）

∵CY=C′Y=2﹣2m，

∴CC′⊥BC，

∴BC′為P，B，C，C′四點共圓所在圓的直徑，

∴BP⊥C′P，

∴KBP×KC′P=﹣1，

∵P（m，2m﹣2），

∴C′（3m，2﹣2m），B（﹣m，0），

∴ =﹣1，

∴m2﹣4m+2=0，

∴m1=2﹣ ，m2=2+ ，

∵m＞1，

∴m=2+ ．

【解析】（1）解：∵A（0，m﹣1）在拋物線y=a（x﹣m）2+2m﹣2上，
∴a（0﹣m）2+2m﹣2=m﹣1．
∴a= ．
∴拋物線的解析式為y= （x﹣m）2+2m﹣2．
所以答案是：y= （x﹣m）2+2m﹣2．