Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)，連接MP，作∠MPQ=60°，交MC于點(diǎn)Q，求MQ的最小值；
（3）在（2）中：
①當(dāng)MQ取最小值時(shí)，判斷△PQC的形狀，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)P在何處時(shí)，以點(diǎn)P、M和點(diǎn)A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的性質(zhì)求出AB=DC；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)

PC

BM

=

CQ

BP

，列出方程求出一個(gè)關(guān)于MQ值的函數(shù)求最小值即可．

解答：（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC（2分）
∴AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）在等邊三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC
∴△BMP∽△CPQ，
∴

PC

BM

=

CQ

BP

（5分）
令PC=x，MQ=y，則BP=4-x，QC=4-y
∴

x

4

=

4-y

4-x

∴y=

1

4

x²-x+4=

1

4

（x-2）²+3，即MQ的最小值為3（7分）

（3）①△PQC為直角三角形
由（2）知，當(dāng)MQ取最小值時(shí)，x=PC=2．
∴P是BC的中點(diǎn)，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°
∴∠PQC=90°（9分）
②當(dāng)BP=1時(shí)，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，則四邊形ABPM四邊形MBPD均為平行四邊形．
當(dāng)BP=3時(shí)，又PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
則四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形．
∴當(dāng)BP=1或BP=3時(shí)，以點(diǎn)P、M和A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
此時(shí)平行四邊形有4個(gè)．（11分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查三角形的全等相似性質(zhì)以及平行四邊形的判定，求函數(shù)最小值等知識(shí)點(diǎn)．