Question

如圖所示，在⊙O中，

AD

=

AC

，弦CD與弦AB交于點F，連接BC，若∠ACD=60°，⊙O的半徑長為2cm．
（1）求∠B的度數(shù)及圓心O到弦AC的距離；
（2）求圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析：（1）連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點E，求出∠ABC=∠ACD即可，求出∠AOC度數(shù)，即可求出OE、AE；
（2）求出△AOC和扇形AOC的面積即可．

解答：
（1）解：如圖，連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點E，
∵弧AD=弧AC，
∴∠ABC=∠ACD
∵∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠ACD=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=

1

2

×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2，OE=OAcos60°=1．

（2）在Rt△AOE中，OA=2，OE=1，
∴由勾股定理得：AE=

3

，
∴AC=2AE=2

3

，
∴S_陰影=S_扇形OAC-S_△OAC=

120π•22

360

-

1

2

×2

3

×1=（

4

3

π-

3

）cm²．

點評：本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，扇形面積，三角形面積的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．