Question

已知：如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，-2），直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)在y軸上．點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求線段PE的長（用含x 的代數(shù)式表示）；
（3）點(diǎn)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn)，若以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在拋物線上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=，
∴y=（x-1）²-2，

（2）拋物線與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為y=x-．
∵P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x-）．（0＜x＜3）
由題意可知PE∥y軸，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-x-），
∵0＜x＜3，
∴PE=（x-）-（x²-x-）=-x²+x，

（3）由題意可知D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，又D點(diǎn)在直線AB上，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（1，-1）．
①當(dāng)∠EDP=90°時(shí)，△AOB∽△EDP，
∴．
過點(diǎn)D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x-1，
∴DP=（x-1），
∴，
解得：x=-1±（負(fù)值舍去）．
∴P（-1，）（如圖中的P₁點(diǎn)）；
②當(dāng)∠DEP=90°時(shí)，△AOB∽△DEP，
∴．
由（2）PE=-x²+x，DE=x-1，
∴，
解得：x=1±，（負(fù)值舍去）．
∴P（1+，-1）（如圖中的P₂點(diǎn)）；
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，）或（1+，-1）．
分析：（1）首先設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-2，由A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求得這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，然后由P在直線上，將x代入直線方程，即可求得P的縱坐標(biāo)，又由E在拋物線上，則可求得E的縱坐標(biāo)，它們的差即為PE的長；
（3）分別從當(dāng)∠EDP=90°時(shí)，△AOB∽△EDP與當(dāng)∠DEP=90°時(shí)，△AOB∽△DEP兩種情況去分析，注意利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，即可求得答案，注意不要漏解．
點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長度的求解方法，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．