Question

【題目】如圖∠AOB＝120°，把三角板60°的角的頂點(diǎn)放在O處．轉(zhuǎn)動(dòng)三角板（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），OE始終平分∠AOD．

（1）（特殊發(fā)現(xiàn)）如圖1，若OC邊與OA邊重合時(shí)，求出∠COE與∠BOD的度數(shù)．

（2）（類比探究）如圖2，當(dāng)三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），∠COE與∠BOD的度數(shù)比是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）（拓展延伸）如圖3，在轉(zhuǎn)動(dòng)三角板的過(guò)程中（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），若OP平分∠COB，請(qǐng)畫出圖形，直接寫出∠EOP的度數(shù)（無(wú)須證明）.

Answer 1

【答案】（1）∠BOD＝60°，∠COE＝30°；（2）∠COE：∠BOD＝；（3）畫圖見(jiàn)解析；∠POE＝30°．

【解析】

（1）∵OC邊與OA邊重合，如圖1，根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）①0°≤∠AOC＜60°時(shí)，如圖2，②當(dāng)60°≤∠AOC≤120°時(shí)，如圖3，根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（3）①0°≤∠AOC＜60°時(shí)，設(shè)∠AOC=α，∠BOD=β，②當(dāng)60°≤∠AOC≤120°時(shí)，設(shè)∠AOC=α，∠BOD=β，根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論．

（1）∵OC邊與OA邊重合，如圖1，

∴∠AOD＝60°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣60°＝60°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠COE＝AOD＝30°；

（2）①0°≤∠AOC＜60°時(shí)，如圖2，

∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE＝AOD，

∴∠COE＝∠COD﹣∠EOD＝60°﹣AOD，

∵∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣∠AOD，

∴∠COE：∠BOD＝；

②當(dāng)60°≤∠AOC≤120°時(shí)，如圖3，

∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE＝AOD，

∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD＝AOD﹣60°，

∵∠DOB＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣120°，

∴∠COE：∠BOD＝；

（3）①0°≤∠AOC＜60°時(shí)，

設(shè)∠AOC＝α，∠BOD＝β，

∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，

∴α+β＝60°，

∴∠AOD＝60°+α，∠BOC＝60°+β，

∵OE始終平分∠AOD，OP平分∠COB，

∴∠AOE＝AOD＝30°+ ，∠BOP＝BOC＝30°+，

∴∠POE＝∠AOB﹣∠AOE﹣∠BOP＝120°﹣（30°+）﹣（30°+）＝30°；

②當(dāng)60°≤∠AOC≤120°時(shí)，

設(shè)∠AOC＝α，∠BOD＝β，

∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，

∴∠BOC＝120°﹣∠AOC＝60°﹣∠BOD，

∴120°﹣α＝60°﹣β，

∴α﹣β＝60°，

∴∠AOD＝120°+β，∠BOC＝60°﹣β，

∵OE始終平分∠AOD，OP平分∠COB，

∴∠DOE＝AOD＝60°+，∠BOP＝BOC＝30°﹣，

∴∠POE＝∠DOE﹣∠BOD﹣∠BOP＝（60°+）﹣β﹣（30°﹣）＝30°；

綜上所述，∠POE＝30°．