Question

【題目】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．

下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程．

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，

∴MA=MC

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖（3），已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，D為⊙O上 一點(diǎn), ，AE⊥BD與點(diǎn)E,則△BDC的周長(zhǎng)是 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析: （1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝GD，即可得出答案；

（2）方法一、首先證明△ABF≌ACD（SAS），進(jìn)而得出AF＝AD，以及CD＋DE＝BE，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)即可得出答案．

方法二、先求出BE，再用（1）的結(jié)論得出BE＝CD＋DE，即可得出結(jié)論．

試題解析:

（1）證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中點(diǎn)，

∴MA＝MC．

在△MBA和△MGC中

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB＝MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD＝GD，

∴DC＝GC＋GD＝AB＋BD；

（2）解：方法一、如圖3，截取BF＝CD，連接AF，AD，CD，

由題意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，

在△ABF和△ACD中

∵，

∴△ABF≌ACD（SAS），

∴AF＝AD，

∵AE⊥BD，

∴FE＝DE，則CD＋DE＝BE，

∵∠ABD＝45°，

∴BE＝，

則△BDC的周長(zhǎng)是2＋2．

故答案為：2＋2．

方法二、∵△ABC是等邊三角形，

∴BC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB，

∴由（1）的結(jié)論得，BE＝DE＋CD，

在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝2，

∴BE＝，

∴DE＋CD＝，

∴則△BDC的周長(zhǎng)是BC＋BD＋CD＝BC＋BE＋DE＋CD＝2＋2．

故答案為：2＋2．

點(diǎn)睛: 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．