Question

已知，Rt△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠A=90°，點(diǎn)B、C都在x軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，），∠ABC=30°，若拋物線y=ax²+bx+c恰好過A、B、C三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)和拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若點(diǎn)E是拋物線y=ax²+bx+c對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，試確定當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí)，△AEC的周長最小？最小是多少？
（3）若點(diǎn)P為拋物線在第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，試確定當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，四邊形PDBC的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，），∠ABC=30°，利用直角三角形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B與C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）由（1），可求得拋物線的對(duì)稱軸，又由點(diǎn)B、C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求△AEC的周長的最小值，即為求AE+EC+AC的最小值，由對(duì)稱性知，AE+EC的最小值為AB的長，即當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB與拋物線對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)處時(shí)，△AEC的周長最小，繼而可求得答案；
（3）首先連接結(jié)PO，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-），過點(diǎn)P分別向 x軸，y軸作垂線，垂足分別為N、G，由S_{四邊形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD，即可求得答案．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，在Rt△AFB中，
∵∠ABC=30°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，），
∴OF=2，AF=，∠ACF=60°，
∴BF==3，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴點(diǎn)B的點(diǎn)標(biāo)為（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC==1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
∴該拋線的解析式為：y=-x²+x+…（4分）

（2）∵y=-x²+x+
=-（x-1）²+，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∴點(diǎn)B、C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
求△AEC的周長的最小值，即為求AE+EC+AC的最小值，
由對(duì)稱性知，AE+EC的最小值為AB的長，即當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB與拋物線對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)處時(shí)，△AEC的周長最小，
由B（-1，0），A（2，）可得AB所在直線的解析式為：y=x+，…（7分）
當(dāng)x=1時(shí)，y=，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），
此時(shí)，△AEC的周長最小，最小值為AB+AC=+2…（8分）

（3）連接結(jié)PO，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-）其中O＜t＜3，
過點(diǎn)P分別向 x軸，y軸作垂線，垂足分別為N、G，
由（1）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，）…（9分）
則S_{四邊形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD
=×OC×PN+×OD×PG+×OB×OD
=×3×（-）+××t+×1×
=…（11分）
故當(dāng)時(shí)，四邊形PDBC的面積最大，最大面積為，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三角形周長最小值問題以及四邊形面積最小值問題．此題綜合性很強(qiáng)，難度很大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線．