Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)∠ABC=60°，BC=2時(shí)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊BP上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MC，MN，求MC+MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=DP，然后求得AE的長(zhǎng)即可；
（3）由題意得：點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于BP′對(duì)稱，連接DN，求得DN的長(zhǎng)即可求得MC+MN的最小值；

解答：解：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（對(duì)頂角相等），
∴∠CBP=∠ABP；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，

∠PAD=∠AP′E ∠ADP=∠P′EA=90° AP=AP′

，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP，
∵AB-BC=4，AC=8，
∴AB=10，BC=6，
∴AE=CP=3；

（3）由題意得：點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于BP′對(duì)稱，連接DN，
∵∠ABC=60°，BC=BD，
∴△BCD為等邊三角形，
又∵點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，
∴DN⊥BC，
∵BC=BD=2，
∴BN=1，
∴DN=

3

，
∴MC+MN的最小值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出過(guò)渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵；