Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E．

（1）①求證：△ABE∽△ADB；

     ②若AE=2，ED=4，求⊙O的面積；

（2）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，若AC∥FD，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）①∵⊙O的弦AB=AC，∴弧AB=弧AC，

∴∠ABE=∠ADB，

又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB；

②∵△ABE∽△ADB，

∴，可得AB²=AD×AE

∵AE=2，ED=4，

∴AB²=AD×AE=6×2=12，可得AB=2，

∵BD為⊙O的直徑，

∴Rt△ABD中，BD==4

所以⊙O的半徑為R=2，可得⊙O的面積為：S=πR²=12π（平方單位）

（2）直線FA與⊙O相切

 證明如下：連接AO

∵AC∥FD，∴∠C=∠CBD

∴弧AC=弧CD，

∵弧AB=弧AC，得弧AC=弧BAD

∴∠AOB=×180°=60°，

可得△ABO是等邊三角形．

∴△ABF中，∠FBA=180°-∠ABO=120°

∵BF=BO=AB=BD

∴∠F=∠FBA=30°

因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°

∴OA⊥FA，直線FA過半徑OA的外端且與半徑OA垂直，

∴直線FA與⊙O相切

【解析】（1）①根據等弧所對的圓周角相等，結合公共角，可得∠ABE=∠ADB且∠BAE=∠DAB，不難得到△ABE∽△ADB；

②由△ABE∽△ADB，可得AB²=AD×AE，代入數據可得AB²=12，結合BD為⊙O的直徑，可在Rt△ABD中，求出BD=4，從而得到⊙O的半徑為2，最后利用圓面積公式即得⊙O的面積．

（2）直線FA與⊙O相切．連接AO，利用平行線的內錯角相等，得到∠C=∠CBD，從而弧AC=弧CD，再結合弧AB=弧AC，得到弧AC=弧BAD，所以∠AOB=60°，得△ABO是等邊三角形．接下來不難在等腰△ABF中，算出∠F=∠FBA=30°，因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°，OA⊥FA，得到直線FA與⊙O相切．