Question

如圖所示．如果一個矩形的寬與長的比等于(或近似等于0.618)，那么把這個矩形常說成是黃金矩形．如圖商標(biāo)圖案就是一個長為10cm的黃金矩形，且E、F分別是長與寬的黃金分割點(CE＞BE，CF＞DF)．請判斷△AEF的形狀并求出它的面積．

Answer 1

答案：
解析：

如答圖，因為ABCD是黃金矩形，所以＝,又AD＝10，得AB＝AD＝5－5，又因為E、F分別是BC、CD的黃金分割點，且CE＞BE，CF＞DF，所以＝，＝，而BC＝AD＝10，CD＝AB＝5－5，得CE＝BC＝5－5，BE＝BC－CE＝10－(5－5)＝15－5，CF＝·CD＝·(5－5)＝15－5, 　　在Rt△ABK和Rt△ECF中，AB＝CE＝5－5，∠B＝∠C＝，BE＝CF＝15－5， 　　∴△ABE≌△ECF 　　∴∠1＝∠2，AE＝EF 　　又因為∠1＋∠3＝， 　　所以∠2＋∠3＝， 　　即∠AEF＝ 　　在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，得 　　AE2＝AB2＋BE2＝(5－5)2＋(15－5)2＝500－200， 　　S△AEF＝AE·EF＝AE2＝(500－200)＝250－100 　　所以，△AEF為等腰直角三角形，面積為(250－100)cm2．