Question

（2007•淄博）某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完．該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖1中的折線表示的是市場(chǎng)日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖2中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系．
（1）試寫(xiě)出第一批產(chǎn)品A的市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式；
（2）第一批產(chǎn)品A上市后，哪一天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

【答案】分析：（1）此函數(shù)為分段函數(shù)，
當(dāng)t≤30時(shí)，設(shè)一次函數(shù)為y=kt，將點(diǎn)（30，60）代入可將此函數(shù)關(guān)系式表示出來(lái)；
當(dāng)30≤t≤40時(shí)，設(shè)一次函數(shù)為y=k₁t+b，將點(diǎn)（30，60），（40，0）代入進(jìn)行求解，可將日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式寫(xiě)出；
（2）方法1，將0≤t≤20，20≤t≤30，30≤40的日銷售量與每件產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)表示出來(lái)，求出求出產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)，進(jìn)行比較；方法2，從圖1和圖2中，可知當(dāng)t=30時(shí)，日銷售量達(dá)到最大，每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)也達(dá)到最大，故t=30時(shí)，該公司的日銷售利潤(rùn)最大．
解答：解：（1）由圖1可得，
當(dāng)0≤t≤30時(shí)，設(shè)市場(chǎng)的日銷售量y=kt，
∵點(diǎn)（30，60）在圖象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
當(dāng)30≤t≤40時(shí)，設(shè)市場(chǎng)的日銷售量y=k₁t+b，
∵點(diǎn)（30，60）和（40，0）在圖象上，∴
解得k₁=-6，b=240．
∴y=-6t+240．
綜上可知，當(dāng)0≤t≤30時(shí)，市場(chǎng)的日銷售量y=2t；
當(dāng)30≤t≤40時(shí)，市場(chǎng)的日銷售量y=-6t+240．

（2）方法一：由圖2得：
當(dāng)0≤t≤20時(shí)，每件產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)為y=3t；
當(dāng)20≤t≤40時(shí)，每件產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)為y=60．
∴當(dāng)0≤t≤20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)y=3t×2t=6t²；
∴當(dāng)t=20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)y最大等于2400萬(wàn)元．
當(dāng)20≤t≤30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)y=60×2t=120t．
∴當(dāng)t=30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)y最大等于3600萬(wàn)元；
當(dāng)30≤t≤40時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)y=60×（-6t+240）；
∴當(dāng)t=30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)y最大等于3600萬(wàn)元．
綜上可知，當(dāng)t=30天時(shí)，這家公司市場(chǎng)的日銷售利潤(rùn)最大為3600萬(wàn)元．
方法二：由圖10知，當(dāng)t=30（天）時(shí)，市場(chǎng)的日銷售量達(dá)到最大60萬(wàn)件；又由圖11知，當(dāng)t=30（天）時(shí)產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)達(dá)到最大60元/件，所以當(dāng)t=30（天）時(shí)，市場(chǎng)的日銷售利潤(rùn)最大，最大值為3600萬(wàn)元．
點(diǎn)評(píng)：在求該公司的日銷售利潤(rùn)最大時(shí)，既可進(jìn)行分類討論，也可結(jié)合圖形，將所求的時(shí)間t直接找出，然后在進(jìn)行求解，使求解過(guò)程簡(jiǎn)單化．