Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E、F分別在AD和AB上，AE=3，AF=4．

（1）點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)、四邊形EFPH是平行四邊形，連接DH．

①當(dāng)四邊形FPHE是菱形時(shí)，線段BP=_____；

②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△DEH的面積會(huì)不會(huì)變化？若變化，求其最大值；若不變，求出它的值；

③當(dāng)△DEH是等腰三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)E沿E-D-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿F-B-C終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，求EF的中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)(要求寫(xiě)出簡(jiǎn)略的計(jì)算過(guò)程)

Answer 1

【答案】（1）①3；②不變，10；③3或2.5或2；（2）

【解析】

（1）①由菱形的性質(zhì)知EF=PF，再由Rt△AEF≌Rt△BPF即可得BP=AE=3；

②過(guò)H作MN∥AB，延長(zhǎng)EH與BC相交于G，易得四邊形ABNM為矩形，然后證明△BPF≌△MEH，可得MH=BF=4，則△DEH的面積不變；

③分別討論EH=HD，EH=ED，HD=ED，利用等腰三角形的性質(zhì)求解；

（2）易得運(yùn)動(dòng)3秒后停止運(yùn)動(dòng)，建立坐標(biāo)系，計(jì)算得出1秒，秒，3秒時(shí)，E，F的坐標(biāo)，從而得到中點(diǎn)O的坐標(biāo)，即可得出運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

（1）①∵四邊形FPHE是菱形

∴EF=PF

在Rt△AEF和Rt△BPF中，

∵EF=PF，AF=BF=4

∴Rt△AEF≌Rt△BPF（HL）

∴BP=AE=3；

②如圖，過(guò)H作MN∥AB，延長(zhǎng)EH與BC相交于G，

∵AM∥BN，MN∥AB

∴四邊形ABNM為平行四邊形

又∵∠A=90°

∴四邊形ABNM為矩形

∴MN⊥BN

∴MH為△DEH的高

∵EG∥FP

∴∠HGN=∠FPB

∵∠HGN+∠GHN=90°，∠FPB=∠PFB=90°

∴∠PFB=∠GHN

又∵∠GHN=∠EHM

∴∠PFB=∠EHM

在△BPF和△MEH中，

∠PBF=∠EMH=90°，∠PFB=∠EHM，PF=EH

∴△BPF≌△MEH（AAS）

∴MH=BF=4，

∴△DEH的高為4，底邊長(zhǎng)為8-3=5

S△DEH=

即△DEH的面積不變，為10

③當(dāng)EH=HD時(shí)，EM=MD=ED=

∴BP=EM=

當(dāng)EH=ED時(shí)，EH=PF=ED=5

在Rt△BPF中，

當(dāng)HD=ED時(shí)，

在Rt△DHM中，

EM=5-3=2

∴BP=EM=2

綜上所述，BP的長(zhǎng)為3或2.5或2

（2）E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C需要時(shí)間為秒，F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C需要時(shí)間為秒，

∴運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)

如圖建立坐標(biāo)系，則E(3,8)，F(0,4)，O(,6)

1秒時(shí)，F運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，坐標(biāo)F1(0,0)，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E1(6,8)

此時(shí)中點(diǎn)O1（3,4）

秒時(shí)，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D，坐標(biāo)E2（8,8）

F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F2，坐標(biāo)為（,0），則中點(diǎn)O2（,4）

3秒時(shí)，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E3，坐標(biāo)為（8,4）

F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，坐標(biāo)為（8,0），則中點(diǎn)O3（8,2）

∴中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為