Question

某課題組在探究“泵站問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：
直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最�。�解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B．
請利用上述模型解決下列問題：
（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為

 

；
（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；
（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題要在AC上找一點P，使PB+PE的值最小．設(shè)點B關(guān)于AC的對稱點為B′，使PB+PE的值最小就是使PB′+PE的值最小．
（2）設(shè)點B關(guān)于AC的對稱點為B′，根據(jù)垂線段最短及兩點之間，線段最短可知當(dāng)B′、M、N三點共線且B′N⊥AB時BM+MN的值最�。�
（3）根據(jù)兩點間距離公式，可知本題即求點P（x，0）（0≤x≤4）到點A（0，1）和點B（4，2）的距離之和的最小值，在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，即可求解．

解答：解：（1）作點B關(guān)于AC的對稱點B′，連接B′E交AC于P，此時PB+PE的值最小，連接AB′．

∵∠B′AC=∠BAC=45°，∴∠B′AB=90°．
又∵AB′=AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，AE=

1

2

AB=

2

，
∴PB+PE的最小值=B′E=

B′A2+AE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．

（2）作點B關(guān)于AC的對稱點B′，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．
此時BM+MN的值最�。瓸M+MN=B′N．
理由：如圖1，在AC上任取一點M₁（不與點M重合），
在AB上任取一點N₁，連接B′M₁、BM₁、M₁N₁、B′N₁．

∵點B′與點B關(guān)于AC對稱，
∴BM₁=B′M₁，
∴BM₁+M₁N₁=B′M₁+M₁N₁＞B′N₁．
又∵B′N₁＞B′N，BM+MN=B′N，
∴BM₁+M₁N₁＞BM+MN．
計算：如圖2

∵點B′與點B關(guān)于AC對稱，
∴AB′=AB，
又∵∠BAC=30°，
∴∠B′AB=60°，
∴△B′AB是等邊三角形．
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°．
又∵B′N⊥AB，
∴B′N=B′B•sin60°=

3

．

（3）構(gòu)造圖形如圖所示：

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點A（0，1）、B（4，2）、P（x，0）（0≤x≤4）．
那么PA+PB=

x2+1

+

(4-x)2+4

．
所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值就是求PA+PB的最小值．
作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，過A′作y軸的垂線，過點Bx軸的垂線，兩垂線交于點C．
則A′C=4，BC=3，A′B=

A′C2+BC2

=

42+32

=5．
所求

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值是5．

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題．解這類問題的關(guān)鍵是將實際問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．